Номер 34.43, страница 170 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.43*. Упростите выражение

$\frac{1}{1-2x^2} + \frac{1}{1+2x^2} + \frac{2}{1+4x^4} + \frac{4}{1+16x^8} + \frac{8}{1+256x^{16}}$

Для упрощения данного выражения будем последовательно складывать дроби, начиная с первых двух. На каждом шаге используется формула сокращенного умножения для разности квадратов: $(a-b)(a+b)=a^2-b^2$.

Сначала сложим первые две дроби:

$\frac{1}{1-2x^2} + \frac{1}{1+2x^2} = \frac{1 \cdot (1+2x^2) + 1 \cdot (1-2x^2)}{(1-2x^2)(1+2x^2)} = \frac{1+2x^2+1-2x^2}{1^2 - (2x^2)^2} = \frac{2}{1-4x^4}$

Теперь исходное выражение можно переписать, подставив полученный результат:

$\frac{2}{1-4x^4} + \frac{2}{1+4x^4} + \frac{4}{1+16x^8} + \frac{8}{1+256x^{16}}$

Далее, сложим первые два члена нового выражения. Они имеют аналогичную структуру, что позволяет нам снова применить ту же формулу:

$\frac{2}{1-4x^4} + \frac{2}{1+4x^4} = \frac{2(1+4x^4) + 2(1-4x^4)}{(1-4x^4)(1+4x^4)} = \frac{2+8x^4+2-8x^4}{1^2 - (4x^4)^2} = \frac{4}{1-16x^8}$

Выражение снова упрощается, и теперь оно выглядит так:

$\frac{4}{1-16x^8} + \frac{4}{1+16x^8} + \frac{8}{1+256x^{16}}$

Продолжаем процесс, складывая следующие две дроби:

$\frac{4}{1-16x^8} + \frac{4}{1+16x^8} = \frac{4(1+16x^8) + 4(1-16x^8)}{(1-16x^8)(1+16x^8)} = \frac{4+64x^8+4-64x^8}{1^2 - (16x^8)^2} = \frac{8}{1-256x^{16}}$

На последнем шаге осталось сложить результат с последним слагаемым исходного выражения:

$\frac{8}{1-256x^{16}} + \frac{8}{1+256x^{16}} = \frac{8(1+256x^{16}) + 8(1-256x^{16})}{(1-256x^{16})(1+256x^{16})} = \frac{8+8 \cdot 256x^{16} + 8 - 8 \cdot 256x^{16}}{1^2 - (256x^{16})^2} = \frac{16}{1-256^2x^{32}} = \frac{16}{1-65536x^{32}}$

Таким образом, итоговое упрощенное выражение найдено.

Ответ: $\frac{16}{1-65536x^{32}}$