Номер 34.42, страница 170 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.42*. Выполните действия $\frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b-c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b-c}} \cdot \left(1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right)$.

Для решения данного выражения выполним действия по шагам.

1. Упростим первый множитель, который представляет собой сложную дробь: $ \frac{\frac{1}{a} - \frac{1}{b-c}}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b-c}} $.

Сначала преобразуем числитель этой дроби, приведя дроби к общему знаменателю $a(b-c)$:

$ \frac{1}{a} - \frac{1}{b-c} = \frac{1 \cdot (b-c)}{a(b-c)} - \frac{1 \cdot a}{a(b-c)} = \frac{b-c-a}{a(b-c)} $

Затем преобразуем знаменатель сложной дроби, также приведя дроби к общему знаменателю $a(b-c)$:

$ \frac{1}{a} + \frac{1}{b-c} = \frac{1 \cdot (b-c)}{a(b-c)} + \frac{1 \cdot a}{a(b-c)} = \frac{b-c+a}{a(b-c)} $

Теперь разделим преобразованный числитель на преобразованный знаменатель:

$ \frac{\frac{b-c-a}{a(b-c)}}{\frac{a+b-c}{a(b-c)}} = \frac{b-c-a}{a(b-c)} \cdot \frac{a(b-c)}{a+b-c} = \frac{b-c-a}{a+b-c} $

2. Упростим второй множитель: $ \left(1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\right) $.

Приведем выражение в скобках к общему знаменателю $2bc$:

$ 1 - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc}{2bc} - \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{2bc - (b^2 + c^2 - a^2)}{2bc} = \frac{2bc - b^2 - c^2 + a^2}{2bc} $

Перегруппируем слагаемые в числителе, чтобы использовать формулы сокращенного умножения:

$ \frac{a^2 - b^2 + 2bc - c^2}{2bc} = \frac{a^2 - (b^2 - 2bc + c^2)}{2bc} $

В скобках находится формула квадрата разности: $(b-c)^2 = b^2 - 2bc + c^2$. Подставим ее в выражение:

$ \frac{a^2 - (b-c)^2}{2bc} $

Теперь в числителе мы имеем формулу разности квадратов: $x^2 - y^2 = (x-y)(x+y)$. Применим ее:

$ \frac{(a - (b-c))(a + (b-c))}{2bc} = \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc} $

3. Перемножим полученные упрощенные выражения.

Результат первого действия: $ \frac{b-c-a}{a+b-c} $.

Результат второго действия: $ \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc} $.

Выполним умножение:

$ \frac{b-c-a}{a+b-c} \cdot \frac{(a-b+c)(a+b-c)}{2bc} $

Сократим общий множитель $(a+b-c)$ в числителе и знаменателе:

$ \frac{b-c-a}{1} \cdot \frac{a-b+c}{2bc} = \frac{(b-c-a)(a-b+c)}{2bc} $

Обратим внимание на множитель $(b-c-a)$ в числителе. Его можно записать как $-(a-b+c)$. Сделаем подстановку:

$ \frac{-(a-b+c)(a-b+c)}{2bc} = -\frac{(a-b+c)^2}{2bc} $

Ответ: $ -\frac{(a-b+c)^2}{2bc} $