Номер 34.44, страница 170 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.44*. Докажите тождество

$\frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-c)(b-a)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1.$

Для доказательства тождества преобразуем его левую часть, приведя все дроби к общему знаменателю. Обозначим левую часть выражения буквой L.

L = $ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-c)(b-a)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} $

Для того чтобы найти общий знаменатель, преобразуем знаменатели второй и третьей дробей, используя свойства разности: $ (x-y) = -(y-x) $.

В знаменателе второй дроби: $ (b-a) = -(a-b) $.

В знаменателе третьей дроби: $ (c-a) = -(a-c) $ и $ (c-b) = -(b-c) $. Произведение этих двух множителей будет $ (-(a-c)) \cdot (-(b-c)) = (a-c)(b-c) $.

Подставим преобразованные знаменатели в исходное выражение:

L = $ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-c)(-(a-b))} + \frac{ab}{(-(a-c))(-(b-c))} $

L = $ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} - \frac{ac}{(a-b)(b-c)} + \frac{ab}{(a-c)(b-c)} $

Теперь видно, что общий знаменатель для всех трех дробей — это $ (a-b)(a-c)(b-c) $. Приведем дроби к этому знаменателю. Для этого домножим числитель и знаменатель первой дроби на $ (b-c) $, второй — на $ (a-c) $, а третьей — на $ (a-b) $.

L = $ \frac{bc(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} - \frac{ac(a-c)}{(a-b)(b-c)(a-c)} + \frac{ab(a-b)}{(a-c)(b-c)(a-b)} $

Сложим числители, так как знаменатели теперь одинаковы:

L = $ \frac{bc(b-c) - ac(a-c) + ab(a-b)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

Раскроем скобки в числителе:

Числитель = $ b^2c - bc^2 - (a^2c - ac^2) + a^2b - ab^2 $

Числитель = $ b^2c - bc^2 - a^2c + ac^2 + a^2b - ab^2 $

Теперь сгруппируем слагаемые в числителе для разложения на множители. Удобнее всего сгруппировать по степеням переменной $ a $:

Числитель = $ (a^2b - a^2c) - (ab^2 - ac^2) + (b^2c - bc^2) $

Вынесем общие множители из каждой скобки:

Числитель = $ a^2(b-c) - a(b^2-c^2) + bc(b-c) $

Применим формулу разности квадратов $ b^2-c^2 = (b-c)(b+c) $:

Числитель = $ a^2(b-c) - a(b-c)(b+c) + bc(b-c) $

Теперь можно вынести общий множитель $ (b-c) $ за скобки:

Числитель = $ (b-c)[a^2 - a(b+c) + bc] $

Раскроем скобки внутри квадратных скобок:

Числитель = $ (b-c)[a^2 - ab - ac + bc] $

Сгруппируем слагаемые внутри квадратных скобок и вынесем общие множители:

Числитель = $ (b-c)[(a^2 - ab) - (ac - bc)] = (b-c)[a(a-b) - c(a-b)] $

Вынесем общий множитель $ (a-b) $:

Числитель = $ (b-c)(a-b)(a-c) $

Подставим полученное выражение для числителя обратно в дробь:

L = $ \frac{(a-b)(a-c)(b-c)}{(a-b)(a-c)(b-c)} $

Поскольку по определению дробей в исходном выражении знаменатели не равны нулю, то есть $ a \neq b $, $ b \neq c $ и $ a \neq c $, мы можем сократить одинаковые множители в числителе и знаменателе.

L = 1

Мы показали, что левая часть тождества равна 1, следовательно, тождество доказано.

Ответ: Тождество $ \frac{bc}{(a-b)(a-c)} + \frac{ac}{(b-c)(b-a)} + \frac{ab}{(c-a)(c-b)} = 1 $ доказано.