Номер 34.41, страница 170 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

34.41*. Упростите выражение

$\left(\frac{b}{a+b} - 1\right)\left(\frac{a}{a-b} - 1\right) - \left(\frac{a}{a+b} - 1\right)\left(\frac{b}{a-b} + 1\right)$

Для упрощения выражения $ (\frac{b}{a+b}-1)(\frac{a}{a-b}-1) - (\frac{a}{a+b}-1)(\frac{b}{a-b}+1) $ начнем с преобразования выражений в скобках.

Сначала упростим первое произведение $ (\frac{b}{a+b}-1)(\frac{a}{a-b}-1) $. Приведем каждую скобку к общему знаменателю:

Первая скобка: $ \frac{b}{a+b}-1 = \frac{b - (a+b)}{a+b} = \frac{b-a-b}{a+b} = \frac{-a}{a+b} $.

Вторая скобка: $ \frac{a}{a-b}-1 = \frac{a - (a-b)}{a-b} = \frac{a-a+b}{a-b} = \frac{b}{a-b} $.

Таким образом, первое произведение равно: $ (\frac{-a}{a+b}) \cdot (\frac{b}{a-b}) = \frac{-ab}{(a+b)(a-b)} = \frac{-ab}{a^2-b^2} $.

Теперь упростим второе произведение $ (\frac{a}{a+b}-1)(\frac{b}{a-b}+1) $. Аналогично приведем каждую скобку к общему знаменателю:

Третья скобка: $ \frac{a}{a+b}-1 = \frac{a - (a+b)}{a+b} = \frac{a-a-b}{a+b} = \frac{-b}{a+b} $.

Четвертая скобка: $ \frac{b}{a-b}+1 = \frac{b + (a-b)}{a-b} = \frac{b+a-b}{a-b} = \frac{a}{a-b} $.

Таким образом, второе произведение равно: $ (\frac{-b}{a+b}) \cdot (\frac{a}{a-b}) = \frac{-ba}{(a+b)(a-b)} = \frac{-ab}{a^2-b^2} $.

Теперь вычтем второе произведение из первого:

$ \frac{-ab}{a^2-b^2} - (\frac{-ab}{a^2-b^2}) = \frac{-ab}{a^2-b^2} + \frac{ab}{a^2-b^2} = 0 $.

Ответ: $0$