Номер 5.15, страница 29 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.15*. Запишите в виде тождества утверждение:

а) квадраты противоположных чисел равны;

б) квадрат числа равен квадрату модуля этого числа.

а) квадраты противоположных чисел равны;

Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы записать данное утверждение в виде тождества, обозначим произвольное число переменной, например, $a$.

Число, противоположное $a$, равно $-a$.

Квадрат числа $a$ записывается как $a^2$.

Квадрат противоположного ему числа $-a$ записывается как $(-a)^2$.

Утверждение "квадраты противоположных чисел равны" означает, что $a^2$ равно $(-a)^2$. Запишем это в виде равенства:

$(-a)^2 = a^2$

Это равенство является тождеством, так как при возведении в квадрат произведения двух множителей $(-1 \cdot a)$ мы возводим в квадрат каждый множитель: $(-a)^2 = (-1)^2 \cdot a^2 = 1 \cdot a^2 = a^2$. Равенство $a^2 = a^2$ верно для любого числа $a$.

Ответ: $(-a)^2 = a^2$

б) квадрат числа равен квадрату модуля этого числа.

Пусть $a$ — произвольное число.

Квадрат этого числа — это $a^2$.

Модуль этого числа — это $|a|$. Квадрат модуля — это $(|a|)^2$.

Утверждение "квадрат числа равен квадрату модуля этого числа" можно записать в виде следующего равенства:

$a^2 = (|a|)^2$

Чтобы убедиться, что это тождество, рассмотрим все возможные случаи для числа $a$, основываясь на определении модуля.

1. Если число $a$ неотрицательное, то есть $a \geq 0$, то по определению модуля $|a| = a$. В этом случае равенство принимает вид $a^2 = (a)^2$, что является верным.

2. Если число $a$ отрицательное, то есть $a < 0$, то по определению модуля $|a| = -a$. В этом случае равенство принимает вид $a^2 = (-a)^2$. Как мы показали в пункте а), $(-a)^2 = a^2$, следовательно, равенство $a^2 = a^2$ также верно.

Поскольку равенство справедливо для любых чисел $a$, оно является тождеством.

Ответ: $a^2 = (|a|)^2$