Номер 5.12, страница 28 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.12. Выполните тождественное преобразование выражения:

а) $ -a^3 \cdot a^4; $

б) $ a^3 \cdot (-a^4); $

в) $ a^3 \cdot (-a)^4; $

г) $ -a^3 \cdot (-a)^4. $

а) Для преобразования выражения $-a^3 \cdot a^4$ используется свойство умножения степеней с одинаковым основанием, которое гласит, что $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$. Знак "минус" перед выражением сохраняется.
$-a^3 \cdot a^4 = -(a^3 \cdot a^4) = -a^{3+4} = -a^7$.
Ответ: $-a^7$

б) В выражении $a^3 \cdot (-a^4)$ второй множитель $-a^4$ можно представить как $(-1) \cdot a^4$.
$a^3 \cdot (-a^4) = a^3 \cdot (-1) \cdot a^4 = -1 \cdot (a^3 \cdot a^4)$.
Применяя свойство умножения степеней, получаем:
$-(a^{3+4}) = -a^7$.
Ответ: $-a^7$

в) Для преобразования выражения $a^3 \cdot (-a)^4$ необходимо сначала упростить множитель $(-a)^4$. При возведении отрицательного числа в четную степень (в данном случае степень 4) результат будет положительным. То есть, $(-x)^n = x^n$, если $n$ — четное число.
Следовательно, $(-a)^4 = a^4$.
Теперь исходное выражение можно переписать так:
$a^3 \cdot a^4$.
По свойству умножения степеней:
$a^{3+4} = a^7$.
Ответ: $a^7$

г) В выражении $-a^3 \cdot (-a)^4$ сначала упростим второй множитель $(-a)^4$. Так как степень 4 является четной, то $(-a)^4 = a^4$.
После этого подставляем упрощенный множитель в исходное выражение:
$-a^3 \cdot a^4$.
Это выражение аналогично тому, что в пункте а). Используем свойство умножения степеней:
$-(a^3 \cdot a^4) = -a^{3+4} = -a^7$.
Ответ: $-a^7$