Номер 5.10, страница 28 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.10. Верно ли, что данное равенство является тождеством:

$(a^2)^3 = a^6$;

$a^5 \cdot a^2 = a \cdot a^6$;

$a^9 : a = (a^2)^4$;

$a^{-5} = -5a?$;

Чтобы определить, является ли равенство тождеством, нужно проверить, выполняется ли оно для всех допустимых значений переменных. Для этого упростим левую и правую части каждого равенства, используя свойства степеней.

а) $(a^2)^3 = a^6$

Рассмотрим левую часть равенства: $(a^2)^3$.
Используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим это свойство: $(a^2)^3 = a^{2 \cdot 3} = a^6$.
Левая часть равна $a^6$, и правая часть равна $a^6$.
Поскольку $a^6 = a^6$ для любого значения $a$, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, равенство является тождеством.

б) $a^5 \cdot a^2 = a \cdot a^6$

Рассмотрим левую часть равенства: $a^5 \cdot a^2$.
Используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$.
Применим это свойство: $a^5 \cdot a^2 = a^{5+2} = a^7$.
Теперь рассмотрим правую часть равенства: $a \cdot a^6$.
Учитывая, что $a = a^1$, применим то же свойство: $a^1 \cdot a^6 = a^{1+6} = a^7$.
Левая и правая части равны $a^7$.
Поскольку $a^7 = a^7$ для любого значения $a$, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, равенство является тождеством.

в) $a^9 : a = (a^2)^4$

Рассмотрим левую часть равенства: $a^9 : a$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
Учитывая, что $a = a^1$, применим это свойство: $a^9 : a^1 = a^{9-1} = a^8$. (Данное равенство определено для $a \neq 0$)
Теперь рассмотрим правую часть равенства: $(a^2)^4$.
Используем свойство возведения степени в степень: $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$.
Применим это свойство: $(a^2)^4 = a^{2 \cdot 4} = a^8$.
Левая и правая части равны $a^8$.
Поскольку $a^8 = a^8$ для всех допустимых значений $a$, данное равенство является тождеством.

Ответ: да, равенство является тождеством.

г) $a^{-5} = -5a$

Чтобы проверить, является ли это равенство тождеством, достаточно найти хотя бы одно значение $a$, при котором оно не выполняется.
По определению, степень с отрицательным показателем $x^{-n} = \frac{1}{x^n}$. Значит, левая часть равна $\frac{1}{a^5}$.
Равенство имеет вид $\frac{1}{a^5} = -5a$.
Подставим произвольное значение, например, $a = 1$.
Левая часть: $1^{-5} = \frac{1}{1^5} = 1$.
Правая часть: $-5 \cdot 1 = -5$.
Получили $1 \neq -5$.
Так как равенство не выполняется при $a=1$, оно не является тождеством.

Ответ: нет, равенство не является тождеством.