Номер 5.3, страница 27 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.3. Являются ли тождественно равными выражения:

а) $a(b - c + d)$ и $ab - ac + da;$

б) $(a + b)(c - d)$ и $(d - c)(b + a);$

в) $(a + b - c)d$ и $ad - bd + cd;$

г) $(a + b)(c + d)$ и $(d + c)(b + a)?$

а) Чтобы проверить, являются ли выражения $a(b - c + d)$ и $ab - ac + da$ тождественно равными, раскроем скобки в первом выражении, используя распределительный закон умножения:

$a(b - c + d) = a \cdot b + a \cdot (-c) + a \cdot d = ab - ac + ad$.

Теперь рассмотрим второе выражение: $ab - ac + da$.

Согласно переместительному (коммутативному) закону умножения, $da = ad$.

Таким образом, второе выражение можно записать как $ab - ac + ad$.

Сравнивая полученные выражения $ab - ac + ad$ и $ab - ac + ad$, мы видим, что они одинаковы. Следовательно, выражения тождественно равны.

Ответ: да, являются.

б) Рассмотрим выражения $(a + b)(c - d)$ и $(d - c)(b + a)$.

Воспользуемся переместительным (коммутативным) законом сложения и умножения. Для второго выражения имеем:

$(b + a) = (a + b)$.

Также можно вынести $-1$ за скобки во множителе $(d-c)$:

$(d - c) = -1 \cdot (c - d) = -(c - d)$.

Тогда второе выражение можно преобразовать следующим образом:

$(d - c)(b + a) = -(c - d)(a + b) = -(a + b)(c - d)$.

Мы видим, что второе выражение является противоположным первому выражению. Они равны только в том случае, если их значение равно нулю (например, если $a = -b$ или $c = d$), но не для всех возможных значений переменных. Следовательно, они не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

в) Сравним выражения $(a + b - c)d$ и $ad - bd + cd$.

Преобразуем первое выражение, раскрыв скобки с помощью распределительного закона умножения:

$(a + b - c)d = a \cdot d + b \cdot d + (-c) \cdot d = ad + bd - cd$.

Теперь сравним полученный результат $ad + bd - cd$ со вторым выражением $ad - bd + cd$.

Мы видим, что знаки при слагаемых $bd$ и $cd$ не совпадают. В первом выражении мы имеем $+bd$ и $-cd$, а во втором $-bd$ и $+cd$. Так как выражения не совпадают для всех значений переменных, они не являются тождественно равными.

Ответ: нет, не являются.

г) Проверим тождественное равенство выражений $(a + b)(c + d)$ и $(d + c)(b + a)$.

Для преобразования второго выражения воспользуемся переместительным (коммутативным) законом сложения, согласно которому от перемены мест слагаемых сумма не меняется:

$(d + c) = (c + d)$

$(b + a) = (a + b)$

Подставим эти равенства во второе выражение:

$(d + c)(b + a) = (c + d)(a + b)$.

Теперь воспользуемся переместительным (коммутативным) законом умножения, согласно которому от перемены мест множителей произведение не меняется:

$(c + d)(a + b) = (a + b)(c + d)$.

Таким образом, второе выражение полностью совпадает с первым. Следовательно, выражения являются тождественно равными.

Ответ: да, являются.