Номер 5.2, страница 27 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.2. Правильно ли проведены тождественные преобразования:

а) $3a + 7a = (3 + 7)a;$

б) $4(a - b) = 4a + 4b;$

в) $a + b - c = a + c - b;$

г) $5x - 3x = (5 + 3)x;$

д) $-2(x - y) = -2x + 2y;$

е) $x \cdot y \cdot z = z \cdot x \cdot y?$

а) $3a + 7a = (3 + 7)a$

Это преобразование основано на распределительном свойстве умножения относительно сложения, которое также называют вынесением общего множителя за скобки. Общим множителем в выражении $3a + 7a$ является переменная $a$.
Согласно распределительному свойству $ca + da = (c + d)a$.
В данном случае $c=3$ и $d=7$. Таким образом, преобразование $3a + 7a = (3 + 7)a$ является верным применением этого свойства.
Ответ: правильно.

б) $4(a - b) = 4a + 4b$

Здесь проверяется применение распределительного свойства умножения относительно вычитания (раскрытие скобок).
Правило раскрытия скобок в данном случае выглядит так: $c(a - b) = ca - cb$.
Применяя это правило к выражению $4(a - b)$, мы должны получить: $4 \cdot a - 4 \cdot b = 4a - 4b$.
В задании же в правой части стоит выражение $4a + 4b$. Равенство $4a - 4b = 4a + 4b$ верно только при $b=0$. В общем случае это неверно. Знак перед вторым слагаемым должен быть «минус».
Ответ: неправильно.

в) $a + b - c = a + c - b$

Это преобразование затрагивает переместительное свойство сложения. Важно помнить, что вычитание не обладает переместительным свойством ($b-c \neq c-b$).
Выражение в левой части можно записать как сумму: $a + b + (-c)$.
Согласно переместительному свойству сложения, мы можем менять слагаемые местами. Например: $a + b + (-c) = a + (-c) + b = a - c + b$.
В задании же предложено равенство $a + b - c = a + c - b$. Чтобы проверить, подставим числа: пусть $a=5, b=3, c=2$.
Левая часть: $5 + 3 - 2 = 6$.
Правая часть: $5 + 2 - 3 = 4$.
Поскольку $6 \neq 4$, преобразование неверно.
Ответ: неправильно.

г) $5x - 3x = (5 + 3)x$

Здесь, как и в пункте а), должно применяться распределительное свойство (вынесение общего множителя за скобки), но для разности.
Правило для разности: $ca - da = (c - d)a$.
Следовательно, правильное преобразование для $5x - 3x$ выглядит так: $(5 - 3)x = 2x$.
В задании предложено равенство $5x - 3x = (5 + 3)x$, что равно $8x$. Равенство $2x = 8x$ верно только при $x=0$. В общем случае преобразование выполнено неверно из-за неправильного знака в скобках.
Ответ: неправильно.

д) $-2(x - y) = -2x + 2y$

Для проверки этого равенства используем распределительное свойство умножения (раскрытие скобок): $c(a - b) = ca - cb$.
В нашем случае множитель $c = -2$, $a = x$ и $b = y$.
Применяем правило: $-2(x - y) = (-2) \cdot x - (-2) \cdot y$.
При умножении отрицательного числа $-2$ на $-y$ получается положительное число. Таким образом, получаем: $-2x - (-2y) = -2x + 2y$.
Результат совпадает с выражением в правой части равенства.
Ответ: правильно.

е) $x \cdot y \cdot z = z \cdot x \cdot y$

Это преобразование основано на переместительном (коммутативном) свойстве умножения, которое гласит, что от перемены мест множителей произведение не меняется ($ab = ba$).
В сочетании с сочетательным свойством ($ (ab)c = a(bc) $) это позволяет переставлять множители в произведении в любом порядке.
В левой и правой частях равенства находятся одни и те же множители ($x, y, z$), но в разном порядке. В силу свойств умножения, их произведение будет одинаковым.
Ответ: правильно.