Номер 4.22, страница 26 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.22*. Найдите область определения выражения:

a) $(x-5)/(x-1)-10/x$;

б) $3x^2-x/(5x-1)-7/(5-x)$.

a) Область определения выражения $(x-5):(x-1)-10:x$ находится из условия, что операция деления возможна только на число, не равное нулю. Данное выражение можно представить в виде алгебраических дробей:

$\frac{x-5}{x-1} - \frac{10}{x}$

Знаменатели дробей не могут быть равны нулю. Поэтому мы должны исключить значения $x$, которые обращают знаменатели в ноль.

1. Первый знаменатель: $x-1 \neq 0$. Отсюда следует, что $x \neq 1$.

2. Второй знаменатель: $x \neq 0$.

Объединяя эти условия, получаем, что область определения выражения — это все действительные числа, кроме $0$ и $1$.

Ответ: $x \in (-\infty; 0) \cup (0; 1) \cup (1; +\infty)$.

б) Рассмотрим выражение $3x^2 - x : (5x - 1) - 7 : (5 - x)$. Запишем его с использованием дробей:

$3x^2 - \frac{x}{5x-1} - \frac{7}{5-x}$

Слагаемое $3x^2$ определено для любых значений $x$. Ограничения на область определения накладывают знаменатели дробей, которые не могут быть равны нулю.

1. Первый знаменатель: $5x - 1 \neq 0$.

$5x \neq 1$

$x \neq \frac{1}{5}$

2. Второй знаменатель: $5 - x \neq 0$.

$x \neq 5$

Таким образом, область определения выражения — это все действительные числа, кроме $\frac{1}{5}$ и $5$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{5}) \cup (\frac{1}{5}; 5) \cup (5; +\infty)$.