Номер 4.19, страница 26 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.19. Найдите область определения выражения:

а) $(x+2):(x-5)$;

б) $(x-3):(7-x)$;

в) $(x+4)\cdot(x-1)$;

г) $(x+6):7$;

д) $(x-5):x$;

е) $x:(2x-10)$.

а) Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых выражение имеет смысл. В данном выражении $(x + 2) : (x - 5)$ присутствует операция деления. Делить на ноль нельзя, поэтому знаменатель $x - 5$ не должен быть равен нулю. Это условие можно записать в виде неравенства: $x - 5 \neq 0$. Решая его, получаем $x \neq 5$. Следовательно, область определения данного выражения — это все действительные числа, кроме 5.
Ответ: все числа, кроме 5.

б) В выражении $(x - 3) : (7 - x)$ также есть операция деления. Знаменатель $7 - x$ не может быть равен нулю. Найдем значение $x$, при котором знаменатель обращается в ноль: $7 - x = 0$, откуда $x = 7$. Это значение необходимо исключить из области определения. Таким образом, выражение определено для всех действительных чисел, кроме 7.
Ответ: все числа, кроме 7.

в) Выражение $(x + 4) \cdot (x - 1)$ представляет собой произведение двух многочленов. Результатом раскрытия скобок будет многочлен $x^2 + 3x - 4$. Операции умножения, сложения и вычитания, из которых состоит многочлен, определены для любых действительных чисел. Поэтому область определения данного выражения — все действительные числа.
Ответ: все числа.

г) В выражении $(x + 6) : 7$ делителем является число 7. Так как делитель — это константа, не равная нулю ($7 \neq 0$), деление возможно при любом значении переменной $x$. Следовательно, область определения выражения — все действительные числа.
Ответ: все числа.

д) Выражение $(x - 5) : x$ можно записать в виде дроби $\frac{x - 5}{x}$. Знаменатель этой дроби равен $x$. Условие существования выражения — знаменатель не равен нулю, то есть $x \neq 0$. Таким образом, область определения — все действительные числа, кроме 0.
Ответ: все числа, кроме 0.

е) Выражение $x : (2x - 10)$ содержит деление на выражение $2x - 10$. Чтобы выражение имело смысл, знаменатель $2x - 10$ не должен равняться нулю. Решим уравнение $2x - 10 = 0$, чтобы найти недопустимое значение. Перенеся 10 в правую часть, получим $2x = 10$. Разделив обе части на 2, найдем $x = 5$. Значит, $x$ не может быть равен 5. Область определения — все действительные числа, кроме 5.
Ответ: все числа, кроме 5.