Номер 4.20, страница 26 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

4.20. Для какого выражения областью определения являются все числа:

а) $\frac{3}{1-a}$;

б) $a + \frac{3}{a}$;

в) $\frac{a+7}{5}$;

г) $\frac{4}{a+1}$;

д) $\frac{a-3}{a^2}$;

е) $\frac{a-3}{a+4}$?

Область определения выражения — это множество всех значений переменной, при которых это выражение имеет смысл. Для алгебраических выражений с делением, как в этой задаче, необходимо исключить значения переменной, при которых делитель равен нулю, так как деление на ноль не определено. Проанализируем каждое выражение.

а) $3 : (1 - a)$

Это выражение эквивалентно дроби $\frac{3}{1 - a}$. Знаменатель (делитель) равен нулю, если $1 - a = 0$, то есть при $a = 1$. Таким образом, область определения этого выражения исключает число 1.

Ответ: область определения — все числа, кроме $a = 1$.

б) $a + 3 : a$

Это выражение эквивалентно $a + \frac{3}{a}$. Деление происходит на переменную $a$. Если $a = 0$, выражение не имеет смысла. Таким образом, область определения исключает число 0.

Ответ: область определения — все числа, кроме $a = 0$.

в) $(a + 7) : 5$

Это выражение эквивалентно дроби $\frac{a + 7}{5}$. Делитель — это константа 5. Поскольку $5 \neq 0$, делитель никогда не равен нулю. Следовательно, выражение определено для любого действительного числа $a$.

Ответ: область определения — все числа.

г) $4 : (a + 1)$

Это выражение эквивалентно дроби $\frac{4}{a + 1}$. Знаменатель равен нулю, если $a + 1 = 0$, то есть при $a = -1$. Таким образом, область определения исключает число -1.

Ответ: область определения — все числа, кроме $a = -1$.

д) $(a - 3) : a^2$

Это выражение эквивалентно дроби $\frac{a - 3}{a^2}$. Знаменатель равен нулю, если $a^2 = 0$, то есть при $a = 0$. Таким образом, область определения исключает число 0.

Ответ: область определения — все числа, кроме $a = 0$.

е) $(a - 3) : (a + 4)$

Это выражение эквивалентно дроби $\frac{a - 3}{a + 4}$. Знаменатель равен нулю, если $a + 4 = 0$, то есть при $a = -4$. Таким образом, область определения исключает число -4.

Ответ: область определения — все числа, кроме $a = -4$.

Сравнив результаты, мы видим, что только для выражения в) $(a + 7) : 5$ областью определения являются все числа.