Номер 5.7, страница 28 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.7. Преобразуйте выражение в тождественно равное, ис-пользуя свойства степени с целым показателем:

а) $a^6 \cdot a^{-4}$;

б) $a^{-9} : a^{-5}$;

в) $(a^{-8})^2 \cdot a^{13}$;

г) $(a^{10})^2 : a^{18} \cdot a^3$.

Найдите значение полученного выражения при $a = -\frac{1}{2}$.

а) $a^6 \cdot a^{-4}$

Для преобразования выражения используем свойство умножения степеней с одинаковым основанием: $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$.

$a^6 \cdot a^{-4} = a^{6 + (-4)} = a^{6-4} = a^2$.

Теперь найдем значение полученного выражения $a^2$ при $a = -\frac{1}{2}$:

$(-\frac{1}{2})^2 = \frac{1}{4}$.

Ответ: $a^2$; $\frac{1}{4}$.

б) $a^{-9} : a^{-5}$

Для преобразования используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^m : a^n = a^{m-n}$.

$a^{-9} : a^{-5} = a^{-9 - (-5)} = a^{-9+5} = a^{-4}$.

Теперь найдем значение полученного выражения $a^{-4}$ при $a = -\frac{1}{2}$. Воспользуемся свойством степени с отрицательным показателем $a^{-n} = \frac{1}{a^n}$:

$(-\frac{1}{2})^{-4} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^4} = \frac{1}{\frac{1}{16}} = 1 \cdot 16 = 16$.

Ответ: $a^{-4}$; $16$.

в) $(a^{-8})^2 \cdot a^{13}$

Сначала используем свойство возведения степени в степень: $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$(a^{-8})^2 = a^{-8 \cdot 2} = a^{-16}$.

Теперь выражение выглядит как $a^{-16} \cdot a^{13}$. Применим свойство умножения степеней:

$a^{-16} \cdot a^{13} = a^{-16+13} = a^{-3}$.

Найдем значение полученного выражения $a^{-3}$ при $a = -\frac{1}{2}$:

$(-\frac{1}{2})^{-3} = \frac{1}{(-\frac{1}{2})^3} = \frac{1}{-\frac{1}{8}} = 1 \cdot (-8) = -8$.

Ответ: $a^{-3}$; $-8$.

г) $(a^{10})^2 : a^{18} \cdot a^3$

Выполним преобразования по порядку действий. Сначала возведение в степень:

$(a^{10})^2 = a^{10 \cdot 2} = a^{20}$.

Выражение принимает вид $a^{20} : a^{18} \cdot a^3$. Далее выполним деление:

$a^{20} : a^{18} = a^{20-18} = a^2$.

И в конце выполним умножение:

$a^2 \cdot a^3 = a^{2+3} = a^5$.

Найдем значение полученного выражения $a^5$ при $a = -\frac{1}{2}$:

$(-\frac{1}{2})^5 = -\frac{1^5}{2^5} = -\frac{1}{32}$.

Ответ: $a^5$; $-\frac{1}{32}$.