Номер 5.8, страница 28 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.8. Какие пары выражений тождественно равны:

а) $m + n$ и $n + m$;

б) $5(a - b)$ и $5a - 5b$;

в) $xyz$ и $xy \cdot z$;

г) $(-a)^3$ и $-a^3$?

а) Сравним выражения $m + n$ и $n + m$. Согласно переместительному (коммутативному) свойству сложения, результат сложения не зависит от порядка слагаемых. Это свойство записывается формулой $a + b = b + a$ для любых чисел $a$ и $b$. Применяя это свойство к переменным $m$ и $n$, мы получаем, что равенство $m + n = n + m$ справедливо для любых их значений. Следовательно, выражения являются тождественно равными.
Ответ: выражения тождественно равны.

б) Рассмотрим пару выражений $5(a - b)$ и $5a - 5b$. Для сравнения преобразуем первое выражение, раскрыв скобки. Используем распределительное (дистрибутивное) свойство умножения относительно вычитания, которое гласит, что $c(a - b) = ca - cb$. В данном случае множитель $c=5$.
$5(a - b) = 5 \cdot a - 5 \cdot b = 5a - 5b$.
Результат преобразования первого выражения полностью совпадает со вторым выражением. Таким образом, данные выражения тождественно равны.
Ответ: выражения тождественно равны.

в) Сравним выражения $xyz$ и $xy \cdot z$. Запись $xyz$ является сокращенной формой произведения $x \cdot y \cdot z$. Запись $xy \cdot z$ означает, что сначала перемножаются $x$ и $y$, а затем результат умножается на $z$, то есть $(x \cdot y) \cdot z$. Согласно сочетательному (ассоциативному) свойству умножения, порядок перемножения сомножителей не влияет на итоговый результат: $(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c) = abc$. Следовательно, $xyz = (xy)z$, и выражения тождественно равны.
Ответ: выражения тождественно равны.

г) Рассмотрим пару выражений $(-a)^3$ и $-a^3$. Первое выражение $(-a)^3$ — это степень, основанием которой является $-a$, а показателем — 3. Второе выражение $-a^3$ означает, что операция возведения в степень относится только к $a$, а знак минус стоит перед результатом.
Преобразуем первое выражение:
$(-a)^3 = (-a) \cdot (-a) \cdot (-a)$.
Произведение двух отрицательных чисел дает положительное число: $(-a) \cdot (-a) = a^2$.
Тогда $(-a)^3 = (a^2) \cdot (-a) = -a^3$.
Также можно использовать общее правило: при возведении отрицательного числа в нечетную степень результат будет отрицательным. Так как 3 — нечетное число, то $(-a)^3 = -a^3$.
Таким образом, выражения тождественно равны.
Ответ: выражения тождественно равны.