Номер 5.16, страница 29 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

5.16*. Является ли равенство тождеством:

а) $|a^2 + 3| = a^2 + 3;$

б) $|a + 3| = a + 3;$

в) $|a + b| = |a| + |b|;$

г) $|a - b| \cdot |a - b| = (a - b)^2?$

а) Тождество — это равенство, верное при любых допустимых значениях входящих в него переменных. Чтобы проверить, является ли равенство $|a^2 + 3| = a^2 + 3$ тождеством, нужно определить, выполняется ли оно для любого значения $a$.

По определению модуля, $|x| = x$ тогда и только тогда, когда $x \ge 0$. В нашем случае, нам нужно проверить знак выражения $a^2 + 3$.

Для любого действительного числа $a$, его квадрат $a^2$ является неотрицательным числом, то есть $a^2 \ge 0$.

Если к неотрицательному числу прибавить 3, результат всегда будет положительным: $a^2 + 3 \ge 0 + 3$, следовательно $a^2 + 3 \ge 3$.

Поскольку выражение под знаком модуля $a^2 + 3$ всегда положительно, его модуль равен самому выражению. Таким образом, равенство $|a^2 + 3| = a^2 + 3$ верно для всех значений $a$.

Ответ: да, является тождеством.

б) Рассмотрим равенство $|a + 3| = a + 3$.

По определению модуля, данное равенство справедливо только в том случае, если выражение под знаком модуля неотрицательно: $a + 3 \ge 0$.

Решая это неравенство, получаем $a \ge -3$.

Равенство не выполняется для значений $a$, которые меньше $-3$. Чтобы доказать, что это не тождество, достаточно привести один контрпример. Пусть $a = -10$.

Подставим это значение в левую часть равенства: $|-10 + 3| = |-7| = 7$.

Подставим в правую часть: $-10 + 3 = -7$.

Поскольку $7 \neq -7$, равенство неверно. Следовательно, оно не является тождеством, так как не выполняется для всех значений $a$.

Ответ: нет, не является тождеством.

в) Рассмотрим равенство $|a + b| = |a| + |b|$.

Это равенство (неравенство треугольника в случае равенства) выполняется только тогда, когда числа $a$ и $b$ имеют одинаковый знак (оба неотрицательны или оба неположительны), то есть когда $ab \ge 0$.

Если же $a$ и $b$ имеют разные знаки, равенство не выполняется. Приведем контрпример. Пусть $a = 3$ и $b = -5$.

Левая часть: $|a + b| = |3 + (-5)| = |-2| = 2$.

Правая часть: $|a| + |b| = |3| + |-5| = 3 + 5 = 8$.

Так как $2 \neq 8$, равенство неверно. Поскольку мы нашли значения переменных, при которых равенство не выполняется, оно не является тождеством.

Ответ: нет, не является тождеством.

г) Рассмотрим равенство $|a - b| \cdot |a - b| = (a - b)^2$.

Левую часть равенства можно преобразовать, используя свойство $x \cdot x = x^2$. Получаем: $|a - b| \cdot |a - b| = (|a - b|)^2$.

Теперь равенство выглядит так: $(|a - b|)^2 = (a - b)^2$.

Это равенство является следствием одного из основных свойств модуля: для любого действительного числа $x$ верно, что $|x|^2 = x^2$.

Это легко доказать:
1. Если $x \ge 0$, то $|x| = x$, и тогда $|x|^2 = x^2$.
2. Если $x < 0$, то $|x| = -x$, и тогда $|x|^2 = (-x)^2 = x^2$.

Таким образом, для любого выражения $x = a - b$, равенство $(|a - b|)^2 = (a - b)^2$ всегда будет верным, независимо от значений $a$ и $b$.

Ответ: да, является тождеством.