Номер 14.22, страница 64 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.22. Найдите, при каких значениях переменной значение дроби:

а) $\frac{3x - 5}{6}$ равно значению разности дробей $\frac{3 - x}{9}$ и $\frac{6x - 7}{15}$;

б) $\frac{2x + 5}{18}$ равно значению суммы дробей $\frac{7x - 3}{6}$ и $\frac{2 - 5x}{4}$.

а)

Согласно условию задачи, значение дроби $ \frac{3x - 5}{6} $ равно значению разности дробей $ \frac{3 - x}{9} $ и $ \frac{6x - 7}{15} $. Составим уравнение:

$ \frac{3x - 5}{6} = \frac{3 - x}{9} - \frac{6x - 7}{15} $

Для решения этого уравнения необходимо избавиться от знаменателей. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 6, 9 и 15.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 9 = 3^2 $
$ 15 = 3 \cdot 5 $
НОК(6, 9, 15) = $ 2 \cdot 3^2 \cdot 5 = 90 $.

Умножим обе части уравнения на 90:

$ 90 \cdot \frac{3x - 5}{6} = 90 \cdot \frac{3 - x}{9} - 90 \cdot \frac{6x - 7}{15} $

$ \frac{90}{6}(3x - 5) = \frac{90}{9}(3 - x) - \frac{90}{15}(6x - 7) $

$ 15(3x - 5) = 10(3 - x) - 6(6x - 7) $

Раскроем скобки:

$ 45x - 75 = 30 - 10x - 36x + 42 $

Приведем подобные слагаемые в правой части уравнения:

$ 45x - 75 = (30 + 42) + (-10x - 36x) $

$ 45x - 75 = 72 - 46x $

Перенесем слагаемые, содержащие $x$, в левую часть уравнения, а числовые слагаемые — в правую, изменив их знаки на противоположные:

$ 45x + 46x = 72 + 75 $

$ 91x = 147 $

Теперь найдем $x$:

$ x = \frac{147}{91} $

Сократим полученную дробь. Общий делитель для числителя и знаменателя равен 7.

$ x = \frac{147 \div 7}{91 \div 7} = \frac{21}{13} $

Ответ: $ \frac{21}{13} $.

б)

Согласно условию, значение дроби $ \frac{2x + 5}{18} $ равно значению суммы дробей $ \frac{7x - 3}{6} $ и $ \frac{2 - 5x}{4} $. Составим уравнение:

$ \frac{2x + 5}{18} = \frac{7x - 3}{6} + \frac{2 - 5x}{4} $

Найдем НОК для знаменателей 18, 6 и 4, чтобы избавиться от дробей.

Разложим знаменатели на простые множители:
$ 18 = 2 \cdot 3^2 $
$ 6 = 2 \cdot 3 $
$ 4 = 2^2 $
НОК(18, 6, 4) = $ 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36 $.

Умножим обе части уравнения на 36:

$ 36 \cdot \frac{2x + 5}{18} = 36 \cdot \frac{7x - 3}{6} + 36 \cdot \frac{2 - 5x}{4} $

$ \frac{36}{18}(2x + 5) = \frac{36}{6}(7x - 3) + \frac{36}{4}(2 - 5x) $

$ 2(2x + 5) = 6(7x - 3) + 9(2 - 5x) $

Раскроем скобки:

$ 4x + 10 = 42x - 18 + 18 - 45x $

Приведем подобные слагаемые в правой части:

$ 4x + 10 = (42x - 45x) + (-18 + 18) $

$ 4x + 10 = -3x $

Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:

$ 4x + 3x = -10 $

$ 7x = -10 $

Найдем $x$:

$ x = -\frac{10}{7} $

Ответ: $ -\frac{10}{7} $.