Номер 14.29, страница 65 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.29. Два маляра, работая одновременно, покрасили стену площадью $200 \text{ м}^2$ за $10 \text{ ч}$. Известно, что за одно и то же время первый маляр красит площадь, на $50 \%$ большую, чем второй. За какое время эту стену покрасил бы первый маляр, работая в одиночку?

Пусть $v_1$ — производительность первого маляра (в м²/ч), а $v_2$ — производительность второго маляра (в м²/ч). Общая площадь стены составляет $A = 200 \text{ м}^2$, а время совместной работы $T_{общ} = 10 \text{ ч}$.

Сначала найдем общую производительность маляров при совместной работе:$v_{общ} = \frac{A}{T_{общ}} = \frac{200}{10} = 20 \text{ м}^2/\text{ч}$. Эта общая производительность является суммой их индивидуальных производительностей: $v_1 + v_2 = 20$.

По условию задачи, первый маляр за то же время красит на 50% большую площадь, чем второй. Это означает, что его производительность на 50% выше:$v_1 = v_2 + 0.5 \cdot v_2 = 1.5 \cdot v_2$.

Теперь у нас есть система из двух уравнений:$\begin{cases} v_1 + v_2 = 20 \\ v_1 = 1.5 \cdot v_2 \end{cases}$
Подставим второе уравнение в первое, чтобы найти производительности каждого маляра:$1.5 \cdot v_2 + v_2 = 20$
$2.5 \cdot v_2 = 20$
$v_2 = \frac{20}{2.5} = 8 \text{ м}^2/\text{ч}$.
Следовательно, производительность первого маляра:$v_1 = 1.5 \cdot 8 = 12 \text{ м}^2/\text{ч}$.

Наконец, вычислим время $T_1$, за которое первый маляр покрасил бы стену в одиночку. Для этого разделим общую площадь на его производительность:$T_1 = \frac{A}{v_1} = \frac{200}{12} = \frac{50}{3}$ часа.
Выразим это время в часах и минутах: $\frac{50}{3} \text{ ч} = 16 \frac{2}{3} \text{ ч} = 16$ часов $40$ минут.

Ответ: $\frac{50}{3}$ часа (или 16 часов 40 минут).