Номер 14.34, страница 65 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.34. Из пунктов $A$ и $B$, протяженность шоссе между которыми равна 20 км, навстречу друг другу одновременно вышел пешеход и выехал велосипедист. Скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Они встретились через 48 мин после начала движения. Сколько километров осталось идти пешеходу после встречи?

Обозначим скорость пешехода как $v_п$ (в км/ч), а скорость велосипедиста — как $v_в$ (в км/ч). Пусть пешеход вышел из пункта А, а велосипедист — из пункта В.

Согласно условию задачи, скорость велосипедиста в 4 раза больше скорости пешехода. Математически это можно записать так:
$v_в = 4 \cdot v_п$

Пешеход и велосипедист двигались навстречу друг другу одинаковое время $t$ до момента встречи. Это время составляет 48 минут.

Расстояние, которое прошел пешеход до встречи, обозначим как $S_п$, а расстояние, которое проехал велосипедист — как $S_в$. Расстояние равно произведению скорости на время:
$S_п = v_п \cdot t$
$S_в = v_в \cdot t$

Поскольку время движения $t$ у них одинаковое, отношение пройденных ими расстояний будет таким же, как и отношение их скоростей:
$\frac{S_в}{S_п} = \frac{v_в \cdot t}{v_п \cdot t} = \frac{v_в}{v_п}$

Подставим в это соотношение известное нам отношение скоростей ($v_в = 4 \cdot v_п$):
$\frac{S_в}{S_п} = \frac{4 \cdot v_п}{v_п} = 4$
Отсюда следует, что расстояние, которое проехал велосипедист до встречи, в 4 раза больше расстояния, которое прошел пешеход: $S_в = 4 \cdot S_п$.

Так как они двигались из пунктов А и В навстречу друг другу, то в момент встречи суммарное пройденное ими расстояние равно всему расстоянию между пунктами, то есть 20 км:
$S_п + S_в = 20$

Теперь у нас есть система из двух уравнений:
1) $S_в = 4 \cdot S_п$
2) $S_п + S_в = 20$
Подставим выражение для $S_в$ из первого уравнения во второе:
$S_п + (4 \cdot S_п) = 20$
$5 \cdot S_п = 20$
$S_п = \frac{20}{5} = 4$ км.

Итак, мы нашли, что до момента встречи пешеход прошел 4 км. Вопрос задачи заключается в том, сколько километров осталось идти пешеходу после встречи. После встречи пешеходу нужно пройти оставшийся путь от места встречи до пункта В. Это расстояние в точности равно тому пути, который проехал велосипедист от пункта В до места встречи, то есть $S_в$.

Найдем $S_в$:
$S_в = 20 - S_п = 20 - 4 = 16$ км.
Также можно найти $S_в$ через $S_п$:
$S_в = 4 \cdot S_п = 4 \cdot 4 = 16$ км.

Оба способа дают один и тот же результат. Таким образом, после встречи пешеходу осталось идти 16 км.

Ответ: 16 км.