Номер 14.30, страница 65 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.30. Три маляра, работая одновременно, покрасили стену площадью $300 \text{ м}^2$ за 10 ч. Известно, что за одно и то же время первый маляр красит площадь, на $10 \%$ меньшую, чем второй, а третий — на $10 \%$ большую, чем второй маляр. За какое время эту стену покрасил бы второй маляр, работая в одиночку?

Для решения задачи введем переменные, обозначающие производительность (скорость работы) каждого маляра. Производительность измеряется в квадратных метрах в час (м²/ч).

1. Определение производительности маляров относительно второго маляра.
Пусть производительность второго маляра равна $v_2$ м²/ч.

Согласно условию, первый маляр за то же время красит площадь на 10% меньшую, чем второй. Это означает, что его производительность на 10% ниже производительности второго маляра.
Производительность первого маляра: $v_1 = v_2 - 0.1 \cdot v_2 = 0.9 \cdot v_2$.

Третий маляр за то же время красит площадь на 10% большую, чем второй. Следовательно, его производительность на 10% выше производительности второго маляра.
Производительность третьего маляра: $v_3 = v_2 + 0.1 \cdot v_2 = 1.1 \cdot v_2$.

2. Нахождение общей производительности.
Когда маляры работают вместе, их производительности складываются. Общая производительность $v_{общ}$ равна сумме производительностей трех маляров:
$v_{общ} = v_1 + v_2 + v_3 = 0.9 \cdot v_2 + v_2 + 1.1 \cdot v_2$
$v_{общ} = (0.9 + 1 + 1.1) \cdot v_2 = 3 \cdot v_2$.

3. Вычисление численного значения общей производительности.
Из условия известно, что работая вместе, три маляра покрасили стену площадью $S = 300$ м² за время $t = 10$ часов. Общую производительность можно рассчитать по формуле:
$v_{общ} = \frac{S}{t} = \frac{300 \text{ м²}}{10 \text{ ч}} = 30$ м²/ч.

4. Нахождение производительности второго маляра.
Теперь мы можем приравнять два полученных выражения для общей производительности, чтобы найти $v_2$:
$3 \cdot v_2 = 30$
$v_2 = \frac{30}{3} = 10$ м²/ч.

5. Расчет времени для второго маляра.
Зная производительность второго маляра, мы можем найти время, за которое он в одиночку покрасит стену площадью 300 м²:
$t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{300 \text{ м²}}{10 \text{ м²/ч}} = 30$ часов.

Ответ: 30 часов.