Номер 14.36, страница 66 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.36*. Чему должно быть равно число $a$ для того, чтобы уравнения были равносильными:

а) $5(3x - 2)x - 3x(5x - 3) = -x$ и $ax + 5x = 0$;

б) $3x(3 - 2x) + 2x(3x - 4) = x + 5$ и $3x - ax = x + 5?$

а)

Два уравнения называются равносильными, если множества их решений совпадают. Сначала найдем множество решений первого уравнения, упростив его:

$5(3x - 2)x - 3x(5x - 3) = -x$

Раскроем скобки:

$(15x - 10)x - (15x^2 - 9x) = -x$

$15x^2 - 10x - 15x^2 + 9x = -x$

Приведем подобные слагаемые в левой части уравнения:

$-x = -x$

Это равенство является тождеством, то есть оно верно при любом значении $x$. Следовательно, решением первого уравнения является любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).

Теперь рассмотрим второе уравнение: $ax + 5x = 0$.

Чтобы это уравнение было равносильно первому, его решением также должно быть любое действительное число. Вынесем $x$ за скобки:

$(a + 5)x = 0$

Это уравнение будет верным для любого $x$ только в том случае, если коэффициент при $x$ равен нулю.

$a + 5 = 0$

$a = -5$

Таким образом, при $a = -5$ второе уравнение принимает вид $0 \cdot x = 0$, что верно для любого $x$. Множества решений обоих уравнений совпадают.

Ответ: $a = -5$.

б)

Найдем множество решений первого уравнения:

$3x(3 - 2x) + 2x(3x - 4) = x + 5$

Раскроем скобки в левой части:

$9x - 6x^2 + 6x^2 - 8x = x + 5$

Приведем подобные слагаемые:

$x = x + 5$

Вычтем $x$ из обеих частей уравнения:

$0 = 5$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что первое уравнение не имеет решений, то есть множество его решений пустое ($\emptyset$).

Теперь рассмотрим второе уравнение: $3x - ax = x + 5$.

Чтобы оно было равносильно первому, оно также не должно иметь решений. Преобразуем уравнение, собрав все слагаемые с $x$ в левой части:

$3x - ax - x = 5$

Вынесем $x$ за скобки:

$(3 - a - 1)x = 5$

$(2 - a)x = 5$

Линейное уравнение вида $kx = b$ не имеет решений тогда и только тогда, когда $k = 0$, а $b \neq 0$. В нашем случае $b = 5$, что не равно нулю. Следовательно, нам нужно, чтобы коэффициент при $x$ был равен нулю.

$2 - a = 0$

$a = 2$

При $a = 2$ второе уравнение принимает вид $0 \cdot x = 5$, что является неверным равенством и не имеет решений. Множества решений обоих уравнений пусты и, следовательно, совпадают.

Ответ: $a = 2$.