Номер 14.38, страница 66 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

14.38*. Решите уравнение $a^2 x = a(x + 2) - 2$ относительно переменной $x$.

Для решения уравнения относительно переменной $x$, преобразуем его, сгруппировав члены с $x$ в одной части, а остальные — в другой.

Исходное уравнение:

$a^2x = a(x + 2) - 2$

Раскроем скобки в правой части:

$a^2x = ax + 2a - 2$

Перенесем слагаемое $ax$ в левую часть уравнения:

$a^2x - ax = 2a - 2$

Вынесем $x$ за скобки в левой части и общий множитель 2 в правой части:

$x(a^2 - a) = 2(a - 1)$

Разложим на множители выражение в скобках в левой части:

$xa(a - 1) = 2(a - 1)$

Дальнейшее решение зависит от значения параметра $a$, так как он влияет на коэффициент при $x$. Рассмотрим все возможные случаи.

Случай 1: $a \neq 0$ и $a \neq 1$

В этом случае коэффициент при $x$, равный $a(a-1)$, не равен нулю. Следовательно, мы можем разделить обе части уравнения на $a(a-1)$, чтобы найти $x$:

$x = \frac{2(a - 1)}{a(a - 1)}$

Поскольку $a \neq 1$, то выражение $(a - 1)$ не равно нулю, и мы можем сократить на него дробь:

$x = \frac{2}{a}$

Случай 2: $a = 0$

Подставим $a = 0$ в преобразованное уравнение $xa(a - 1) = 2(a - 1)$:

$x \cdot 0 \cdot (0 - 1) = 2(0 - 1)$

$x \cdot 0 = -2$

$0 = -2$

Получилось неверное числовое равенство. Это означает, что при $a=0$ уравнение не имеет решений (корней).

Случай 3: $a = 1$

Подставим $a = 1$ в преобразованное уравнение $xa(a - 1) = 2(a - 1)$:

$x \cdot 1 \cdot (1 - 1) = 2(1 - 1)$

$x \cdot 0 = 0$

$0 = 0$

Получилось верное числовое равенство, которое выполняется для любого значения $x$. Это означает, что при $a=1$ решением уравнения является любое действительное число.

Ответ:

если $a = 0$, то корней нет;

если $a = 1$, то $x$ — любое число;

если $a \neq 0$ и $a \neq 1$, то $x = \frac{2}{a}$.