Номер 15.24, страница 69 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.24*. Оцените значение выражения $\frac{2}{x} - \frac{3}{y}$, если $2 < x < 6$, а $3 < y < 9$.

Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{2}{x} - \frac{3}{y}$, необходимо найти границы для каждого из его компонентов, используя данные неравенства $2 < x < 6$ и $3 < y < 9$.

1. Оценим значение дроби $\frac{2}{x}$

Нам дано неравенство для $x$: $2 < x < 6$.

Поскольку все части неравенства положительны, мы можем взять обратные величины. При этом знаки неравенства меняются на противоположные:

$\frac{1}{6} < \frac{1}{x} < \frac{1}{2}$

Теперь умножим все части неравенства на 2. Так как 2 — положительное число, знаки неравенства не изменяются:

$2 \cdot \frac{1}{6} < 2 \cdot \frac{1}{x} < 2 \cdot \frac{1}{2}$

$\frac{2}{6} < \frac{2}{x} < \frac{2}{2}$

$\frac{1}{3} < \frac{2}{x} < 1$

2. Оценим значение дроби $\frac{3}{y}$

Нам дано неравенство для $y$: $3 < y < 9$.

Аналогично предыдущему шагу, возьмем обратные величины, изменив знаки неравенства:

$\frac{1}{9} < \frac{1}{y} < \frac{1}{3}$

Умножим все части неравенства на 3. Знаки неравенства сохраняются:

$3 \cdot \frac{1}{9} < 3 \cdot \frac{1}{y} < 3 \cdot \frac{1}{3}$

$\frac{3}{9} < \frac{3}{y} < \frac{3}{3}$

$\frac{1}{3} < \frac{3}{y} < 1$

3. Оценим значение разности $\frac{2}{x} - \frac{3}{y}$

Чтобы найти границы для разности, мы можем из неравенства для уменьшаемого ($\frac{2}{x}$) вычесть неравенство для вычитаемого ($\frac{3}{y}$). Правило вычитания неравенств гласит: чтобы из одного неравенства вычесть другое, нужно к уменьшаемому прибавить число, противоположное вычитаемому. Для этого сначала найдем оценку для $-\frac{3}{y}$.

Возьмем неравенство $\frac{1}{3} < \frac{3}{y} < 1$ и умножим все его части на -1. При умножении на отрицательное число знаки неравенства меняются на противоположные:

$-1 \cdot 1 < -1 \cdot \frac{3}{y} < -1 \cdot \frac{1}{3}$

$-1 < -\frac{3}{y} < -\frac{1}{3}$

Теперь сложим почленно полученные неравенства для $\frac{2}{x}$ и $-\frac{3}{y}$:

$\frac{1}{3} < \frac{2}{x} < 1$

$+$

$-1 < -\frac{3}{y} < -\frac{1}{3}$

---------------------------------

$\frac{1}{3} + (-1) < \frac{2}{x} + (-\frac{3}{y}) < 1 + (-\frac{1}{3})$

$\frac{1}{3} - 1 < \frac{2}{x} - \frac{3}{y} < 1 - \frac{1}{3}$

$\frac{1-3}{3} < \frac{2}{x} - \frac{3}{y} < \frac{3-1}{3}$

$-\frac{2}{3} < \frac{2}{x} - \frac{3}{y} < \frac{2}{3}$

Таким образом, значение выражения находится в интервале от $-\frac{2}{3}$ до $\frac{2}{3}$.

Ответ: $-\frac{2}{3} < \frac{2}{x} - \frac{3}{y} < \frac{2}{3}$.