Номер 15.25, страница 69 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.25*. Оцените значение выражения $\frac{2x}{3y}$, если $24 < x < 32$, а $4 < y < 8$.

Для того чтобы оценить значение выражения $\frac{2x}{3y}$, необходимо найти его нижнюю и верхнюю границы, используя данные неравенства для $x$ и $y$.

По условию задачи имеем два неравенства:

1) $24 < x < 32$

2) $4 < y < 8$

Выражение $\frac{2x}{3y}$ можно представить в виде произведения $\frac{2}{3} \cdot \frac{x}{y}$. Чтобы оценить это выражение, сначала оценим значение дроби $\frac{x}{y}$.

Для нахождения границ дроби $\frac{x}{y}$ нам нужно оценить значение $x$ и $\frac{1}{y}$.

Из неравенства $4 < y < 8$ следует, что для обратной величины $\frac{1}{y}$ (поскольку все части неравенства положительны) справедливо следующее неравенство:

$\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{4}$

Теперь мы можем оценить произведение $\frac{x}{y} = x \cdot \frac{1}{y}$. Так как все части неравенств $24 < x < 32$ и $\frac{1}{8} < \frac{1}{y} < \frac{1}{4}$ положительны, мы можем их почленно перемножить. Нижняя граница произведения будет равна произведению нижних границ, а верхняя — произведению верхних границ.

$24 \cdot \frac{1}{8} < x \cdot \frac{1}{y} < 32 \cdot \frac{1}{4}$

Выполнив вычисления, получаем:

$3 < \frac{x}{y} < 8$

На последнем шаге умножим все части полученного двойного неравенства на положительный постоянный множитель $\frac{2}{3}$, чтобы получить оценку для искомого выражения $\frac{2x}{3y}$:

$\frac{2}{3} \cdot 3 < \frac{2}{3} \cdot \frac{x}{y} < \frac{2}{3} \cdot 8$

$2 < \frac{2x}{3y} < \frac{16}{3}$

Таким образом, значение выражения $\frac{2x}{3y}$ строго больше 2 и строго меньше $\frac{16}{3}$.

Ответ: $2 < \frac{2x}{3y} < \frac{16}{3}$.