Номер 15.27, страница 69 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.27*. Может ли периметр треугольника быть равным 12 см, если сумма расстояний от некоторой точки, лежащей внутри треугольника, до его вершин равна 5,4 см?

Пусть дан треугольник $ABC$ со сторонами $a, b, c$. Его периметр по условию $P = a + b + c = 12$ см. Пусть $O$ — некоторая точка, лежащая внутри треугольника $ABC$. Расстояния от точки $O$ до вершин треугольника обозначим как $OA$, $OB$ и $OC$. Сумма этих расстояний по условию равна $S = OA + OB + OC = 5,4$ см.

Точка $O$ вместе с вершинами треугольника $ABC$ образует три меньших треугольника: $\triangle OAB$, $\triangle OBC$ и $\triangle OCA$. Для каждого из этих треугольников должно выполняться неравенство треугольника, согласно которому сумма длин двух любых сторон треугольника больше длины третьей стороны.

Применим это правило к сторонам исходного треугольника $ABC$, которые являются третьими сторонами для образовавшихся треугольников:

- В треугольнике $\triangle OAB$ сторона $AB=c$. Неравенство: $OA + OB > c$.
- В треугольнике $\triangle OBC$ сторона $BC=a$. Неравенство: $OB + OC > a$.
- В треугольнике $\triangle OCA$ сторона $AC=b$. Неравенство: $OC + OA > b$.

Теперь сложим левые и правые части этих трех неравенств: $(OA + OB) + (OB + OC) + (OC + OA) > c + a + b$

Упростим левую часть и заменим правую часть на периметр $P$: $2 \cdot OA + 2 \cdot OB + 2 \cdot OC > P$ $2(OA + OB + OC) > P$

Подставим в полученное неравенство заданные в условии значения: $P = 12$ см и $OA + OB + OC = 5,4$ см. $2 \cdot 5,4 > 12$ $10,8 > 12$

Мы получили ложное числовое неравенство ($10,8$ не больше $12$). Это противоречие означает, что треугольник с заданными параметрами существовать не может.

Ответ: нет, не может.