Номер 15.20, страница 69 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.20. Длины сторон треугольника не превышают $0,7 \, \text{м}$; $1,2 \, \text{м}$ и $1,8 \, \text{м}$. Оцените периметр данного треугольника.

15.20.

Пусть длины сторон треугольника равны $a$, $b$ и $c$ в метрах. Согласно условию задачи, длины сторон не превышают заданных значений. Это можно записать в виде системы неравенств:

$0 < a \le 0,7$
$0 < b \le 1,2$
$0 < c \le 1,8$

Периметр треугольника $P$ равен сумме длин его сторон:

$P = a + b + c$

Чтобы оценить периметр, нам нужно найти его наименьшее и наибольшее возможные значения (нижнюю и верхнюю границы).

Оценка верхней границы периметра (максимальный периметр)

Периметр будет максимальным, когда стороны треугольника принимают свои наибольшие возможные значения. Сложим максимальные значения длин сторон:

$P_{max} = 0,7 + 1,2 + 1,8 = 3,7$ м.

Однако, чтобы такой периметр был возможен, должен существовать треугольник с такими сторонами. Проверим выполнение неравенства треугольника: сумма длин любых двух сторон должна быть больше длины третьей стороны.

• $a + b > c \implies 0,7 + 1,2 > 1,8 \implies 1,9 > 1,8$ (верно)
• $a + c > b \implies 0,7 + 1,8 > 1,2 \implies 2,5 > 1,2$ (верно)
• $b + c > a \implies 1,2 + 1,8 > 0,7 \implies 3,0 > 0,7$ (верно)

Так как все неравенства выполняются, треугольник со сторонами 0,7 м, 1,2 м и 1,8 м существует. Следовательно, максимальное значение периметра равно 3,7 м.

$P \le 3,7$ м.

Оценка нижней границы периметра (минимальный периметр)

Длины сторон треугольника должны быть положительными числами ($a > 0$, $b > 0$, $c > 0$), поэтому их сумма (периметр) также должна быть положительной: $P > 0$.

Выясним, может ли периметр быть сколь угодно малым. Для этого рассмотрим возможность существования треугольника с очень маленькими сторонами, которые удовлетворяют заданным в условии ограничениям.

Возьмем, к примеру, равносторонний треугольник со стороной $\epsilon$, где $\epsilon$ — малое положительное число. Чтобы такой треугольник удовлетворял условиям задачи, должны выполняться неравенства:

• $\epsilon \le 0,7$
• $\epsilon \le 1,2$
• $\epsilon \le 1,8$

Все эти неравенства верны, если выбрать $\epsilon$ достаточно малым (например, $\epsilon \le 0,7$).

Например, при $\epsilon = 0,1$ м, стороны треугольника равны $a=0,1$ м, $b=0,1$ м, $c=0,1$ м. Эти значения удовлетворяют всем ограничениям. Периметр такого треугольника равен:

$P = 0,1 + 0,1 + 0,1 = 0,3$ м.

Если выбрать еще меньшее значение, например $\epsilon = 0,001$ м, то периметр будет равен $P = 0,003$ м.

Устремляя $\epsilon$ к нулю, мы можем получить периметр, сколь угодно близкий к нулю. Это означает, что не существует наименьшего положительного значения для периметра. Единственной нижней границей для периметра является ноль.

$P > 0$ м.

Итоговая оценка

Объединяя результаты для верхней и нижней границ, получаем, что периметр $P$ данного треугольника находится в следующих пределах:

$0 < P \le 3,7$ м.

Ответ: Периметр данного треугольника больше 0 м, но не превышает 3,7 м.