Номер 15.28, страница 69 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

15.28*. Докажите неравенство:

a) $a^2b - ab^2 \le a^3 - b^3$, если $a - b > 0$;

б) $\frac{3x}{4y} + \frac{16y}{3x} \ge 4$, если $xy > 0$;

в) $2x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 6 \ge 0$.

а)Докажем неравенство $a^2b - ab^2 \le a^3 - b^3$ при условии $a - b > 0$. Для этого преобразуем неравенство, перенеся все его члены в одну сторону:$a^3 - b^3 - a^2b + ab^2 \ge 0$Сгруппируем слагаемые:$(a^3 - a^2b) + (ab^2 - b^3) \ge 0$Вынесем общие множители из каждой группы:$a^2(a - b) + b^2(a - b) \ge 0$Теперь вынесем за скобку общий множитель $(a - b)$:$(a - b)(a^2 + b^2) \ge 0$Проанализируем полученное выражение. По условию задачи, $a - b > 0$. Выражение $a^2 + b^2$ представляет собой сумму двух квадратов. Квадрат любого действительного числа неотрицателен, т.е. $a^2 \ge 0$ и $b^2 \ge 0$. Их сумма $a^2 + b^2 \ge 0$. Равенство нулю возможно только если $a=0$ и $b=0$ одновременно, но в этом случае $a-b=0$, что противоречит условию $a-b>0$. Следовательно, в данном случае $a^2+b^2$ всегда строго больше нуля. Произведение положительного числа $(a - b)$ и положительного числа $(a^2 + b^2)$ всегда является положительным числом. Таким образом, $(a - b)(a^2 + b^2) > 0$, что, очевидно, удовлетворяет неравенству $(a - b)(a^2 + b^2) \ge 0$. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

б)Докажем неравенство $\frac{3x}{4y} + \frac{16y}{3x} \ge 4$ при условии $xy > 0$. Условие $xy > 0$ означает, что переменные $x$ и $y$ имеют одинаковые знаки (обе положительны или обе отрицательны). В обоих случаях отношение $\frac{x}{y}$ и $\frac{y}{x}$ будет положительным. Следовательно, слагаемые $\frac{3x}{4y}$ и $\frac{16y}{3x}$ являются положительными числами. Для двух любых неотрицательных чисел $u$ и $v$ справедливо неравенство о среднем арифметическом и среднем геометрическом (неравенство Коши):$u + v \ge 2\sqrt{uv}$Применим это неравенство для $u = \frac{3x}{4y}$ и $v = \frac{16y}{3x}$:$\frac{3x}{4y} + \frac{16y}{3x} \ge 2\sqrt{\frac{3x}{4y} \cdot \frac{16y}{3x}}$Упростим выражение под знаком корня:$\sqrt{\frac{3x \cdot 16y}{4y \cdot 3x}} = \sqrt{\frac{48xy}{12xy}} = \sqrt{4} = 2$Подставим полученное значение обратно в неравенство:$\frac{3x}{4y} + \frac{16y}{3x} \ge 2 \cdot 2$$\frac{3x}{4y} + \frac{16y}{3x} \ge 4$Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.

в)Докажем неравенство $2x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 6 \ge 0$. Преобразуем выражение в левой части, выделив полные квадраты. Сгруппируем слагаемые, чтобы это стало возможным. Представим $2x^2 = x^2 + x^2$ и $3y^2 = y^2 + 2y^2$.$2x^2 + 2xy + 3y^2 + 2x + 6y + 6 = (x^2 + 2xy + y^2) + x^2 + 2y^2 + 2x + 6y + 6$Первые три слагаемых образуют полный квадрат:$(x+y)^2 + x^2 + 2y^2 + 2x + 6y + 6$Теперь сгруппируем оставшиеся слагаемые с $x$ и с $y$ и выделим в них полные квадраты:$(x+y)^2 + (x^2 + 2x) + (2y^2 + 6y) + 6$Для $(x^2 + 2x)$ добавим и вычтем 1:$x^2 + 2x = (x^2 + 2x + 1) - 1 = (x+1)^2 - 1$Для $(2y^2 + 6y)$ вынесем 2 за скобки:$2y^2 + 6y = 2(y^2 + 3y)$Чтобы в скобках получить полный квадрат, добавим и вычтем $(\frac{3}{2})^2 = \frac{9}{4}$:$2(y^2 + 3y + \frac{9}{4} - \frac{9}{4}) = 2\left((y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}\right) = 2(y + \frac{3}{2})^2 - 2 \cdot \frac{9}{4} = 2(y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}$Теперь подставим все обратно в исходное выражение:$(x+y)^2 + ((x+1)^2 - 1) + (2(y + \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{2}) + 6$Соберем все константы вместе:$(x+y)^2 + (x+1)^2 + 2(y + \frac{3}{2})^2 - 1 - \frac{9}{2} + 6$$-1 - 4.5 + 6 = 0.5 = \frac{1}{2}$В результате получаем:$(x+y)^2 + (x+1)^2 + 2(y + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2}$Проанализируем полученное выражение:$(x+y)^2 \ge 0$ как квадрат действительного числа.$(x+1)^2 \ge 0$ как квадрат действительного числа.$2(y + \frac{3}{2})^2 \ge 0$ как квадрат действительного числа, умноженный на положительное число. Сумма трех неотрицательных слагаемых и положительного числа $\frac{1}{2}$ всегда будет положительной:$(x+y)^2 + (x+1)^2 + 2(y + \frac{3}{2})^2 + \frac{1}{2} \ge 0 + 0 + 0 + \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$Поскольку $\frac{1}{2} > 0$, то и исходное выражение всегда больше нуля, а значит, и больше либо равно нулю. Неравенство доказано.
Ответ: Неравенство доказано.