Номер 16.26, страница 73 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.26*. При каких значениях $a$ равносильны неравенства:

а) $ax > 7$ и $x > \frac{7}{a}$;

б) $ax > 7$ и $x < \frac{7}{a}$;

в) $ax < 7$ и $x < \frac{7}{a}$?

а) $ax > 7$ и $x > \frac{7}{a}$
Два неравенства называются равносильными, если множества их решений совпадают. Для того чтобы неравенство $ax > 7$ было равносильно неравенству $x > \frac{7}{a}$, необходимо, чтобы при решении первого неравенства относительно $x$ мы получили второе. Решение линейного неравенства $ax > 7$ зависит от знака параметра $a$.
Рассмотрим три случая:
1. Пусть $a > 0$. При делении обеих частей неравенства $ax > 7$ на положительное число $a$, знак неравенства сохраняется. Получаем $x > \frac{7}{a}$. Это в точности совпадает со вторым неравенством. Значит, при всех $a > 0$ данные неравенства равносильны.
2. Пусть $a < 0$. При делении обеих частей неравенства $ax > 7$ на отрицательное число $a$, знак неравенства меняется на противоположный. Получаем $x < \frac{7}{a}$. Это неравенство не является равносильным неравенству $x > \frac{7}{a}$.
3. Пусть $a = 0$. Первое неравенство принимает вид $0 \cdot x > 7$, то есть $0 > 7$. Это неверное числовое неравенство, поэтому оно не имеет решений (множество решений пустое). Второе неравенство $x > \frac{7}{a}$ при $a=0$ не имеет смысла, так как содержит деление на ноль. Следовательно, при $a=0$ неравенства не могут быть равносильны.
Таким образом, единственным условием, при котором неравенства равносильны, является $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.

б) $ax > 7$ и $x < \frac{7}{a}$
Аналогично предыдущему пункту, рассмотрим решение неравенства $ax > 7$ и сравним его с $x < \frac{7}{a}$.
1. Пусть $a > 0$. Решением неравенства $ax > 7$ будет $x > \frac{7}{a}$. Это не совпадает с неравенством $x < \frac{7}{a}$, множества их решений различны.
2. Пусть $a < 0$. При делении обеих частей неравенства $ax > 7$ на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный, и мы получаем $x < \frac{7}{a}$. Это в точности совпадает со вторым неравенством. Значит, при всех $a < 0$ данные неравенства равносильны.
3. Пусть $a = 0$. Как и в пункте а), первое неравенство не имеет решений, а второе не определено. Равносильности нет.
Следовательно, неравенства равносильны только при $a < 0$.
Ответ: $a < 0$.

в) $ax < 7$ и $x < \frac{7}{a}$
Рассмотрим неравенство $ax < 7$ и сравним его решение с неравенством $x < \frac{7}{a}$.
1. Пусть $a > 0$. При делении обеих частей неравенства $ax < 7$ на положительное число $a$ знак неравенства сохраняется. Получаем $x < \frac{7}{a}$. Это совпадает со вторым неравенством. Значит, при всех $a > 0$ данные неравенства равносильны.
2. Пусть $a < 0$. При делении обеих частей неравенства $ax < 7$ на отрицательное число $a$ знак неравенства меняется на противоположный. Получаем $x > \frac{7}{a}$. Это не совпадает с неравенством $x < \frac{7}{a}$.
3. Пусть $a = 0$. Первое неравенство принимает вид $0 \cdot x < 7$, то есть $0 < 7$. Это верное числовое неравенство, поэтому его решением является любое действительное число $x \in (-\infty; +\infty)$. Второе неравенство $x < \frac{7}{a}$ при $a=0$ не определено. Множества решений не совпадают, значит, равносильности нет.
Таким образом, неравенства равносильны только при $a > 0$.
Ответ: $a > 0$.