Номер 16.22, страница 73 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.22. Найдите наибольшее целое решение неравенства

$(x-6)^2 \ge (x+6)(x-6)+0,5.$

Для решения данного неравенства выполним следующие шаги:

1. Упрощение неравенства

Исходное неравенство:

$(x-6)^2 \ge (x+6)(x-6) + 0,5$

Раскроем скобки в обеих частях. В левой части используем формулу квадрата разности $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$. В правой части используем формулу разности квадратов $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$.

$(x^2 - 2 \cdot x \cdot 6 + 6^2) \ge (x^2 - 6^2) + 0,5$

$x^2 - 12x + 36 \ge x^2 - 36 + 0,5$

$x^2 - 12x + 36 \ge x^2 - 35,5$

Теперь перенесём все слагаемые с переменной $x$ в одну сторону, а свободные члены — в другую. Вычтем $x^2$ из обеих частей неравенства:

$-12x + 36 \ge -35,5$

Вычтем 36 из обеих частей:

$-12x \ge -35,5 - 36$

$-12x \ge -71,5$

Разделим обе части неравенства на -12. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный (с $\ge$ на $\le$):

$x \le \frac{-71,5}{-12}$

$x \le \frac{71,5}{12}$

2. Нахождение наибольшего целого решения

Мы получили, что $x$ должен быть меньше или равен $\frac{71,5}{12}$. Вычислим значение этой дроби:

$\frac{71,5}{12} = \frac{143/2}{12} = \frac{143}{24} = 5 \frac{23}{24}$

Таким образом, решение неравенства: $x \le 5 \frac{23}{24}$.

По условию задачи требуется найти наибольшее целое решение. Целые числа, которые удовлетворяют этому условию, — это все целые числа, которые меньше или равны $5 \frac{23}{24}$. Ряд таких чисел: ..., 3, 4, 5. Наибольшим из них является 5.

Ответ: 5