Номер 16.18, страница 72 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.18. Найдите, при каких значениях переменной значение дроби $\frac{3m + 6}{2}$ меньше значения суммы дробей $\frac{7m - 14}{3}$ и $\frac{m + 1}{9}$.

Чтобы найти значения переменной m, при которых выполняется условие задачи, необходимо составить и решить неравенство. Условие "значение дроби $\frac{3m + 6}{2}$ меньше значения суммы дробей $\frac{7m - 14}{3}$ и $\frac{m + 1}{9}$" записывается следующим образом:

$\frac{3m + 6}{2} < \frac{7m - 14}{3} + \frac{m + 1}{9}$

Для решения этого неравенства избавимся от дробей, умножив обе его части на наименьшее общее кратное знаменателей 2, 3 и 9. Наименьшее общее кратное этих чисел равно 18. Так как 18 — положительное число, знак неравенства при умножении не изменится.

$18 \cdot \frac{3m + 6}{2} < 18 \cdot \left( \frac{7m - 14}{3} + \frac{m + 1}{9} \right)$

$18 \cdot \frac{3m + 6}{2} < 18 \cdot \frac{7m - 14}{3} + 18 \cdot \frac{m + 1}{9}$

$9(3m + 6) < 6(7m - 14) + 2(m + 1)$

Теперь раскроем скобки:

$27m + 54 < 42m - 84 + 2m + 2$

Приведем подобные слагаемые в правой части неравенства:

$27m + 54 < (42m + 2m) + (-84 + 2)$

$27m + 54 < 44m - 82$

Перенесем слагаемые с переменной m в правую часть, а свободные члены — в левую, меняя их знаки на противоположные:

$54 + 82 < 44m - 27m$

$136 < 17m$

Чтобы найти m, разделим обе части неравенства на 17. Знак неравенства при этом не изменится, так как 17 > 0.

$\frac{136}{17} < m$

$8 < m$

Таким образом, неравенство выполняется при всех значениях m, которые строго больше 8.

Ответ: $m > 8$