Номер 16.14, страница 72 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.14. Умножьте обе части неравенства на одно и то же число и решите его:

а) $x - \frac{x}{9} \geq 8;$

б) $\frac{9x - 1}{4} \leq 2;$

в) $\frac{3x}{7} - \frac{x}{3} > 4;$

г) $\frac{3x + 5}{7} < x - 1;$

д) $\frac{2x - 1}{3} \leq \frac{4x + 2}{5};$

е) $\frac{3x - 5}{4} > \frac{5 - 2x}{2}.$

а) Исходное неравенство: $x - \frac{x}{9} > 8$.

Чтобы избавиться от знаменателя, умножим обе части неравенства на 9. Так как 9 — положительное число, знак неравенства не меняется.

$9 \cdot (x - \frac{x}{9}) > 9 \cdot 8$

$9x - \frac{9x}{9} > 72$

$9x - x > 72$

Приводим подобные слагаемые в левой части:

$8x > 72$

Разделим обе части на 8:

$x > \frac{72}{8}$

$x > 9$

Ответ: $x > 9$.

б) Исходное неравенство: $\frac{9x - 1}{4} \le 2$.

Умножим обе части неравенства на 4, чтобы убрать знаменатель. Знак неравенства сохраняется, так как 4 > 0.

$4 \cdot \frac{9x - 1}{4} \le 4 \cdot 2$

$9x - 1 \le 8$

Перенесем -1 в правую часть с противоположным знаком:

$9x \le 8 + 1$

$9x \le 9$

Разделим обе части на 9:

$x \le 1$

Ответ: $x \le 1$.

в) Исходное неравенство: $\frac{3x}{7} - \frac{x}{3} > 4$.

Чтобы избавиться от знаменателей, найдем наименьшее общее кратное чисел 7 и 3. НОК(7, 3) = 21. Умножим обе части неравенства на 21. Знак неравенства не меняется.

$21 \cdot (\frac{3x}{7} - \frac{x}{3}) > 21 \cdot 4$

$21 \cdot \frac{3x}{7} - 21 \cdot \frac{x}{3} > 84$

$3 \cdot 3x - 7 \cdot x > 84$

$9x - 7x > 84$

Приводим подобные слагаемые:

$2x > 84$

Разделим обе части на 2:

$x > \frac{84}{2}$

$x > 42$

Ответ: $x > 42$.

г) Исходное неравенство: $\frac{3x + 5}{7} < x - 1$.

Умножим обе части неравенства на 7, чтобы избавиться от знаменателя. Знак неравенства сохраняется.

$7 \cdot \frac{3x + 5}{7} < 7 \cdot (x - 1)$

$3x + 5 < 7x - 7$

Сгруппируем слагаемые с переменной $x$ в одной части, а свободные члены — в другой:

$5 + 7 < 7x - 3x$

$12 < 4x$

Разделим обе части на 4:

$\frac{12}{4} < x$

$3 < x$, что то же самое, что и $x > 3$.

Ответ: $x > 3$.

д) Исходное неравенство: $\frac{2x - 1}{3} \le \frac{4x + 2}{5}$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 3 и 5. НОК(3, 5) = 15. Умножим обе части неравенства на 15. Знак неравенства не меняется.

$15 \cdot \frac{2x - 1}{3} \le 15 \cdot \frac{4x + 2}{5}$

$5 \cdot (2x - 1) \le 3 \cdot (4x + 2)$

Раскроем скобки:

$10x - 5 \le 12x + 6$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в правой части, а числа - в левой:

$-5 - 6 \le 12x - 10x$

$-11 \le 2x$

Разделим обе части на 2:

$-\frac{11}{2} \le x$, что эквивалентно $x \ge -5.5$.

Ответ: $x \ge -5.5$.

е) Исходное неравенство: $\frac{3x - 5}{4} > \frac{5 - 2x}{2}$.

Наименьшее общее кратное знаменателей 4 и 2 равно 4. Умножим обе части неравенства на 4. Знак неравенства не меняется.

$4 \cdot \frac{3x - 5}{4} > 4 \cdot \frac{5 - 2x}{2}$

$1 \cdot (3x - 5) > 2 \cdot (5 - 2x)$

$3x - 5 > 10 - 4x$

Сгруппируем слагаемые с $x$ в левой части, а числа - в правой:

$3x + 4x > 10 + 5$

$7x > 15$

Разделим обе части на 7:

$x > \frac{15}{7}$

Ответ: $x > \frac{15}{7}$.