Номер 16.17, страница 72 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.17. Решите неравенство:

а) $\frac{x-1}{5} - 2x < 2;$

б) $\frac{1-2x}{3} \le \frac{4-3x}{6} + \frac{3}{4};$

в) $\frac{3x-2}{4} + \frac{4x+1}{3} \ge 0;$

г) $\frac{x-6}{2} - \frac{x+8}{3} \le 2\frac{1}{3};$

д) $\frac{x+4}{5} - \frac{3x-1}{2} \le 2(x-1);$

е) $\frac{x-1}{3} - 2x \le \frac{3x+1}{4}.$

а) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{5} - 2x < 2$.
Чтобы избавиться от знаменателя, умножим все члены неравенства на 5:
$5 \cdot \left(\frac{x-1}{5}\right) - 5 \cdot (2x) < 5 \cdot 2$
$x - 1 - 10x < 10$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-9x - 1 < 10$
Перенесем -1 в правую часть, изменив знак:
$-9x < 10 + 1$
$-9x < 11$
Разделим обе части на -9. Так как мы делим на отрицательное число, знак неравенства меняется на противоположный:
$x > -\frac{11}{9}$
Ответ: $x \in (-\frac{11}{9}; +\infty)$

б) Исходное неравенство: $\frac{1-2x}{3} \le \frac{4-3x}{6} + \frac{3}{4}$.
Найдем наименьший общий знаменатель для 3, 6 и 4. Это 12. Умножим обе части неравенства на 12:
$12 \cdot \frac{1-2x}{3} \le 12 \cdot \frac{4-3x}{6} + 12 \cdot \frac{3}{4}$
$4(1-2x) \le 2(4-3x) + 3(3)$
Раскроем скобки:
$4 - 8x \le 8 - 6x + 9$
Приведем подобные слагаемые в правой части:
$4 - 8x \le 17 - 6x$
Перенесем слагаемые с $x$ в левую часть, а числа — в правую:
$-8x + 6x \le 17 - 4$
$-2x \le 13$
Разделим обе части на -2, изменив знак неравенства:
$x \ge -\frac{13}{2}$
$x \ge -6.5$
Ответ: $x \in [-6.5; +\infty)$

в) Исходное неравенство: $\frac{3x-2}{4} + \frac{4x+1}{3} \ge 0$.
Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 — это 12. Умножим неравенство на 12:
$12 \cdot \frac{3x-2}{4} + 12 \cdot \frac{4x+1}{3} \ge 12 \cdot 0$
$3(3x-2) + 4(4x+1) \ge 0$
Раскроем скобки:
$9x - 6 + 16x + 4 \ge 0$
Приведем подобные слагаемые:
$25x - 2 \ge 0$
Перенесем -2 в правую часть:
$25x \ge 2$
Разделим обе части на 25:
$x \ge \frac{2}{25}$
Ответ: $x \in [\frac{2}{25}; +\infty)$

г) Исходное неравенство: $\frac{x-6}{2} - \frac{x+8}{3} \le 2\frac{1}{3}$.
Сначала преобразуем смешанное число в неправильную дробь: $2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}$.
Неравенство примет вид: $\frac{x-6}{2} - \frac{x+8}{3} \le \frac{7}{3}$.
Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 — это 6. Умножим неравенство на 6:
$6 \cdot \frac{x-6}{2} - 6 \cdot \frac{x+8}{3} \le 6 \cdot \frac{7}{3}$
$3(x-6) - 2(x+8) \le 2 \cdot 7$
Раскроем скобки:
$3x - 18 - 2x - 16 \le 14$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$x - 34 \le 14$
Перенесем -34 в правую часть:
$x \le 14 + 34$
$x \le 48$
Ответ: $x \in (-\infty; 48]$

д) Исходное неравенство: $\frac{x+4}{5} - \frac{3x-1}{2} \le 2(x-1)$.
Раскроем скобки в правой части: $\frac{x+4}{5} - \frac{3x-1}{2} \le 2x - 2$.
Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 — это 10. Умножим неравенство на 10:
$10 \cdot \frac{x+4}{5} - 10 \cdot \frac{3x-1}{2} \le 10(2x-2)$
$2(x+4) - 5(3x-1) \le 20x - 20$
Раскроем скобки:
$2x + 8 - 15x + 5 \le 20x - 20$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-13x + 13 \le 20x - 20$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$13 + 20 \le 20x + 13x$
$33 \le 33x$
Разделим обе части на 33:
$1 \le x$
Ответ: $x \in [1; +\infty)$

е) Исходное неравенство: $\frac{x-1}{3} - 2x \le \frac{3x+1}{4}$.
Наименьший общий знаменатель для 3 и 4 — это 12. Умножим неравенство на 12:
$12 \cdot \left(\frac{x-1}{3}\right) - 12 \cdot (2x) \le 12 \cdot \frac{3x+1}{4}$
$4(x-1) - 24x \le 3(3x+1)$
Раскроем скобки:
$4x - 4 - 24x \le 9x + 3$
Приведем подобные слагаемые в левой части:
$-20x - 4 \le 9x + 3$
Перенесем слагаемые с $x$ в правую часть, а числа — в левую:
$-4 - 3 \le 9x + 20x$
$-7 \le 29x$
Разделим обе части на 29:
$-\frac{7}{29} \le x$
Ответ: $x \in [-\frac{7}{29}; +\infty)$