Номер 16.28, страница 73 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

16.28*. Решите неравенство $(a-2)x \ge a^2 - 4$ относительно переменной $x$.

Данное неравенство $(a-2)x \ge a^2-4$ является линейным относительно переменной $x$. Его решение зависит от знака коэффициента при $x$, то есть от знака выражения $(a-2)$.

Сначала преобразуем правую часть неравенства, разложив ее на множители по формуле разности квадратов:

Таким образом, неравенство принимает вид:

Дальнейшее решение зависит от знака выражения $(a-2)$. Рассмотрим три возможных случая.

Случай 1: $a-2 > 0$, то есть $a > 2$.

В этом случае коэффициент при $x$ положителен. Мы можем разделить обе части неравенства на положительное число $(a-2)$, при этом знак неравенства сохранится:

После сокращения получаем:

Случай 2: $a-2 < 0$, то есть $a < 2$.

В этом случае коэффициент при $x$ отрицателен. При делении обеих частей неравенства на отрицательное число $(a-2)$ знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

После сокращения получаем:

Случай 3: $a-2 = 0$, то есть $a = 2$.

В этом случае коэффициент при $x$ равен нулю. Подставим значение $a=2$ в исходное неравенство:

Мы получили верное числовое неравенство $0 \ge 0$, которое выполняется при любом значении переменной $x$.

Ответ:
если $a > 2$, то $x \in [a+2, +\infty)$;
если $a < 2$, то $x \in (-\infty, a+2]$;
если $a = 2$, то $x$ — любое действительное число ($x \in \mathbb{R}$).