Номер 1.54, страница 13 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.54. Примените свойства степени и вычислите:

а) $0,75^{10} : \left(\frac{3}{4}\right)^9$;

б) $1,5^{13} : \left(-1\frac{1}{2}\right)^{12}$;

в) $20^6 : (-10)^5$;

г) $0,75^6 : \left(-\frac{3}{8}\right)^5$;

д) $(-37)^7 : 3,7^6$;

е) $0,8^{17} : \left(-\frac{4}{5}\right)^{15}$.

а) $0,75^{10} : (\frac{3}{4})^9$
Сначала представим десятичную дробь $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{75}{100} = \frac{3}{4}$.
Теперь выражение выглядит так: $(\frac{3}{4})^{10} : (\frac{3}{4})^9$.
Используем свойство деления степеней с одинаковым основанием $a^m : a^n = a^{m-n}$:
$(\frac{3}{4})^{10} : (\frac{3}{4})^9 = (\frac{3}{4})^{10-9} = (\frac{3}{4})^1 = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

б) $1,5^{13} : (-1\frac{1}{2})^{12}$
Преобразуем числа в виде обыкновенных дробей: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $-1\frac{1}{2} = -\frac{3}{2}$.
Выражение принимает вид: $(\frac{3}{2})^{13} : (-\frac{3}{2})^{12}$.
Так как показатель степени 12 — четное число, то $(-\frac{3}{2})^{12} = (\frac{3}{2})^{12}$.
Получаем выражение с одинаковыми основаниями: $(\frac{3}{2})^{13} : (\frac{3}{2})^{12}$.
Применяем свойство деления степеней: $(\frac{3}{2})^{13-12} = (\frac{3}{2})^1 = \frac{3}{2} = 1,5$.
Ответ: $1,5$.

в) $20^6 : (-10)^5$
Так как показатель степени 5 — нечетное число, то $(-10)^5 = -10^5$.
Выражение можно записать как: $20^6 : (-10^5) = -\frac{20^6}{10^5}$.
Чтобы упростить, представим $20^6$ как $20 \cdot 20^5$: $-\frac{20 \cdot 20^5}{10^5}$.
Теперь применим свойство частного степеней с одинаковым показателем ($\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$):
$-20 \cdot (\frac{20}{10})^5 = -20 \cdot 2^5$.
Вычисляем: $-20 \cdot 32 = -640$.
Ответ: $-640$.

г) $0,75^6 : (-\frac{3}{8})^5$
Представим $0,75$ в виде дроби $\frac{3}{4}$. Выражение примет вид: $(\frac{3}{4})^6 : (-\frac{3}{8})^5$.
Поскольку показатель степени 5 нечетный, выносим минус: $(\frac{3}{4})^6 : (-(\frac{3}{8})^5) = -\frac{(\frac{3}{4})^6}{(\frac{3}{8})^5}$.
Раскроем скобки и заменим деление умножением на обратную дробь: $-\frac{3^6}{4^6} \cdot \frac{8^5}{3^5}$.
Сгруппируем и упростим степени с одинаковыми основаниями: $-(\frac{3^6}{3^5}) \cdot (\frac{8^5}{4^6}) = -3^{6-5} \cdot (\frac{8^5}{4^6}) = -3 \cdot (\frac{8^5}{4^6})$.
Приведем основания $8$ и $4$ к основанию $2$: $8=2^3$, $4=2^2$.
$-3 \cdot \frac{(2^3)^5}{(2^2)^6} = -3 \cdot \frac{2^{15}}{2^{12}} = -3 \cdot 2^{15-12} = -3 \cdot 2^3 = -3 \cdot 8 = -24$.
Ответ: $-24$.

д) $(-37)^7 : 3,7^6$
Поскольку показатель степени 7 нечетный, $(-37)^7 = -37^7$.
Выражение принимает вид: $-37^7 : 3,7^6 = -\frac{37^7}{3,7^6}$.
Заметим, что $37 = 10 \cdot 3,7$. Подставим это в числитель:
$-\frac{(10 \cdot 3,7)^7}{3,7^6} = -\frac{10^7 \cdot 3,7^7}{3,7^6}$.
Упростим степени с основанием 3,7: $-10^7 \cdot 3,7^{7-6} = -10^7 \cdot 3,7^1$.
Вычислим результат: $-10^7 \cdot 3,7 = -3,7 \cdot 10000000 = -37000000$.
Ответ: $-37000000$.

е) $0,8^{17} : (-\frac{4}{5})^{15}$
Представим $0,8$ в виде дроби: $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$.
Выражение примет вид: $(\frac{4}{5})^{17} : (-\frac{4}{5})^{15}$.
Поскольку показатель степени 15 нечетный, $(-\frac{4}{5})^{15} = -(\frac{4}{5})^{15}$.
Получаем: $(\frac{4}{5})^{17} : (-(\frac{4}{5})^{15}) = -\frac{(\frac{4}{5})^{17}}{(\frac{4}{5})^{15}}$.
Применяем свойство деления степеней с одинаковым основанием:
$-(\frac{4}{5})^{17-15} = -(\frac{4}{5})^2 = -(\frac{4^2}{5^2}) = -\frac{16}{25}$.
Ответ: $-\frac{16}{25}$.