Номер 1.47, страница 12 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.47. Представьте в виде степени с основанием a выражение:

а) $ \frac{a^9 \cdot (a^3)^2}{a^{11}} $;

б) $ \frac{a^3 \cdot a^8}{(a^5)^2} $;

в) $ \frac{a \cdot (a^6 \cdot a^2)^5}{(a^7)^2} $;

г) $ \frac{(a^4 : a)^{12} \cdot a^7}{(a^9 : a^4)^2} $.

а) Для решения используем свойства степеней: при возведении степени в степень показатели перемножаются $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, при умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются $x^m \cdot x^n = x^{m+n}$, а при делении вычитаются $\frac{x^m}{x^n} = x^{m-n}$.
Сначала упростим выражение в числителе: $a^9 \cdot (a^3)^2 = a^9 \cdot a^{3 \cdot 2} = a^9 \cdot a^6 = a^{9+6} = a^{15}$.
Теперь разделим числитель на знаменатель: $\frac{a^{15}}{a^{11}} = a^{15-11} = a^4$.
Ответ: $a^4$

б) Используя те же свойства степеней, упростим выражение.
Упрощаем числитель: $a^3 \cdot a^8 = a^{3+8} = a^{11}$.
Упрощаем знаменатель: $(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.
Выполняем деление: $\frac{a^{11}}{a^{10}} = a^{11-10} = a^1 = a$.
Ответ: $a$

в) Упростим выражение пошагово. Учтем, что $a = a^1$.
Сначала упростим выражение в скобках в числителе: $a^6 \cdot a^2 = a^{6+2} = a^8$.
Теперь числитель имеет вид: $a \cdot (a^8)^5 = a^1 \cdot a^{8 \cdot 5} = a^1 \cdot a^{40} = a^{1+40} = a^{41}$.
Упростим знаменатель: $(a^7)^2 = a^{7 \cdot 2} = a^{14}$.
Разделим полученный числитель на знаменатель: $\frac{a^{41}}{a^{14}} = a^{41-14} = a^{27}$.
Ответ: $a^{27}$

г) Для решения дополнительно используем свойство частного степеней: $x^m : x^n = x^{m-n}$.
Упростим выражение в скобках в числителе: $a^4 \cdot a = a^4 \cdot a^1 = a^{4+1} = a^5$.
Тогда весь числитель: $(a^5)^{12} \cdot a^7 = a^{5 \cdot 12} \cdot a^7 = a^{60} \cdot a^7 = a^{60+7} = a^{67}$.
Упростим выражение в скобках в знаменателе: $a^9 : a^4 = a^{9-4} = a^5$.
Тогда весь знаменатель: $(a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}$.
Выполним деление: $\frac{a^{67}}{a^{10}} = a^{67-10} = a^{57}$.
Ответ: $a^{57}$