Номер 1.46, страница 12 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.46. Найдите, во сколько раз:

а) $100^{11}$ больше, чем $1000^7$;

б) $81^{24}$ меньше, чем $27^{33}$.

а) Чтобы найти, во сколько раз $100^{11}$ больше, чем $1000^7$, необходимо разделить первое число на второе. Для упрощения вычислений приведем оба числа к одному основанию — 10.

Представим число $100$ как $10^2$ и число $1000$ как $10^3$.

Теперь преобразуем $100^{11}$ используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$100^{11} = (10^2)^{11} = 10^{2 \cdot 11} = 10^{22}$

Аналогично преобразуем $1000^7$:

$1000^7 = (10^3)^7 = 10^{3 \cdot 7} = 10^{21}$

Теперь найдем отношение полученных выражений, используя свойство деления степеней с одинаковым основанием $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{100^{11}}{1000^7} = \frac{10^{22}}{10^{21}} = 10^{22-21} = 10^1 = 10$

Ответ: в 10 раз.

б) Чтобы определить, во сколько раз $81^{24}$ меньше, чем $27^{33}$, необходимо разделить большее число ($27^{33}$) на меньшее ($81^{24}$). Приведем оба числа к одному основанию — 3.

Представим число $81$ как $3^4$ и число $27$ как $3^3$.

Преобразуем $27^{33}$, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$27^{33} = (3^3)^{33} = 3^{3 \cdot 33} = 3^{99}$

Аналогично преобразуем $81^{24}$:

$81^{24} = (3^4)^{24} = 3^{4 \cdot 24} = 3^{96}$

Теперь найдем отношение этих чисел, используя свойство деления степеней $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$:

$\frac{27^{33}}{81^{24}} = \frac{3^{99}}{3^{96}} = 3^{99-96} = 3^3 = 27$

Ответ: в 27 раз.