Номер 1.53, страница 13 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.53. Найдите значение выражения:

а) $400^3 : 10^6$;

б) $81^3 : 4.5^6$.

а) $400^3 : 10^6$

Для решения этого выражения воспользуемся свойствами степеней. Запишем выражение в виде дроби:

$400^3 : 10^6 = \frac{400^3}{10^6}$

Представим знаменатель $10^6$ в виде степени с показателем 3, чтобы использовать свойство частного степеней с одинаковыми показателями. Мы знаем, что $10^6 = 10^{2 \cdot 3} = (10^2)^3 = 100^3$.

Подставим это в наше выражение:

$\frac{400^3}{100^3}$

Теперь воспользуемся свойством $\frac{a^n}{b^n} = (\frac{a}{b})^n$:

$(\frac{400}{100})^3 = 4^3$

Осталось вычислить значение:

$4^3 = 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 \cdot 4 = 64$

Ответ: 64

б) $81^3 : 4,5^6$

Для упрощения выражения приведем основания степеней к одному числу. Заметим, что $81 = 3^4$ и $4,5 = \frac{9}{2} = \frac{3^2}{2}$.

Подставим эти значения в исходное выражение:

$81^3 : 4,5^6 = (3^4)^3 : (\frac{3^2}{2})^6$

Теперь применим свойства степеней: "возведение степени в степень" $(a^m)^n = a^{mn}$ и "возведение дроби в степень" $(\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}$.

$3^{4 \cdot 3} : \frac{(3^2)^6}{2^6} = 3^{12} : \frac{3^{2 \cdot 6}}{2^6} = 3^{12} : \frac{3^{12}}{2^6}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь:

$3^{12} \cdot \frac{2^6}{3^{12}}$

Сократим $3^{12}$ в числителе и знаменателе:

$\frac{3^{12} \cdot 2^6}{3^{12}} = 2^6$

Вычислим полученное значение:

$2^6 = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 64$

Ответ: 64