Номер 1.55, страница 13 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.55. Представьте произведение степеней в виде степени и найдите значение выражения:

а) $5^5 \cdot 2^5$;

б) $4^4 \cdot 25^4$;

в) $0,4^6 \cdot 5^6$;

г) $39^5 \cdot \left(\frac{1}{13}\right)^5$;

д) $\left(\frac{2}{3}\right)^7 \cdot 1,5^7$;

е) $2,5^7 \cdot 0,4^7$;

ж) $\left(\frac{5}{6}\right)^6 \cdot (2,4)^6$;

з) $0,75^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5$;

и) $1,5^7 \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^7$.

Для решения всех заданий используется свойство произведения степеней с одинаковыми показателями: $a^n \cdot b^n = (a \cdot b)^n$.

а) $5^5 \cdot 2^5$

Применяем свойство произведения степеней:

$5^5 \cdot 2^5 = (5 \cdot 2)^5 = 10^5 = 100000$.

Ответ: $100000$.

б) $4^4 \cdot 25^4$

Применяем свойство произведения степеней:

$4^4 \cdot 25^4 = (4 \cdot 25)^4 = 100^4 = 100000000$.

Ответ: $100000000$.

в) $0,4^6 \cdot 5^6$

Применяем свойство произведения степеней:

$0,4^6 \cdot 5^6 = (0,4 \cdot 5)^6 = 2^6 = 64$.

Ответ: $64$.

г) $39^5 \cdot \left(\frac{1}{13}\right)^5$

Применяем свойство произведения степеней:

$39^5 \cdot \left(\frac{1}{13}\right)^5 = \left(39 \cdot \frac{1}{13}\right)^5 = \left(\frac{39}{13}\right)^5 = 3^5 = 243$.

Ответ: $243$.

д) $\left(\frac{2}{3}\right)^7 \cdot 1,5^7$

Сначала представим десятичную дробь $1,5$ в виде обыкновенной дроби: $1,5 = \frac{3}{2}$.

$\left(\frac{2}{3}\right)^7 \cdot 1,5^7 = \left(\frac{2}{3}\right)^7 \cdot \left(\frac{3}{2}\right)^7 = \left(\frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2}\right)^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: $1$.

е) $2,5^7 \cdot 0,4^7$

Применяем свойство произведения степеней:

$2,5^7 \cdot 0,4^7 = (2,5 \cdot 0,4)^7 = 1^7 = 1$.

Ответ: $1$.

ж) $\left(\frac{5}{6}\right)^6 \cdot (2,4)^6$

Сначала представим десятичную дробь $2,4$ в виде обыкновенной дроби: $2,4 = \frac{24}{10} = \frac{12}{5}$.

$\left(\frac{5}{6}\right)^6 \cdot (2,4)^6 = \left(\frac{5}{6}\right)^6 \cdot \left(\frac{12}{5}\right)^6 = \left(\frac{5}{6} \cdot \frac{12}{5}\right)^6 = \left(\frac{12}{6}\right)^6 = 2^6 = 64$.

Ответ: $64$.

з) $0,75^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5$

Сначала представим десятичную дробь $0,75$ в виде обыкновенной дроби: $0,75 = \frac{3}{4}$.

$0,75^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{3}{4}\right)^5 \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{3}{4} \cdot \frac{2}{3}\right)^5 = \left(\frac{2}{4}\right)^5 = \left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}$.

Ответ: $\frac{1}{32}$.

и) $1,5^7 \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^7$

Представим оба множителя в виде неправильных дробей: $1,5 = \frac{3}{2}$ и $1\frac{1}{3} = \frac{4}{3}$.

$1,5^7 \cdot \left(1\frac{1}{3}\right)^7 = \left(\frac{3}{2}\right)^7 \cdot \left(\frac{4}{3}\right)^7 = \left(\frac{3}{2} \cdot \frac{4}{3}\right)^7 = \left(\frac{4}{2}\right)^7 = 2^7 = 128$.

Ответ: $128$.