Номер 1.57, страница 13 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.57. Найдите значение выражения:

а) $5^7 \cdot 2^6;$

б) $2^{15} \cdot 0,5^{13};$

в) $(0,2)^{19} \cdot 5^{22};$

г) $1,5^{11} \cdot \left(\frac{2}{3}\right)^{15};$

д) $(-4)^{27} \cdot 0,25^{25};$

е) $8^{19} \cdot (-0,125)^{20};$

ж) $(-0,6)^5 \cdot \left(1\frac{2}{3}\right)^4;$

з) $(-1,6)^{29} \cdot \left(-\frac{5}{8}\right)^{30};$

и) $(-0,1)^{15} \cdot 10^{14};$

к) $(-1,25)^8 \cdot (-0,8)^7;$

л) $\left(-\frac{5}{9}\right)^{13} \cdot (-1,8)^{14};$

м) $(-0,04)^{13} \cdot (-5^2)^{14}.$

Правообладатель Народная асвета

а) Для вычисления $5^7 \cdot 2^6$ выделим общий показатель степени. Для этого представим $5^7$ как $5^{6+1}$.
$5^7 \cdot 2^6 = 5^{6+1} \cdot 2^6 = 5^1 \cdot 5^6 \cdot 2^6 = 5 \cdot (5 \cdot 2)^6 = 5 \cdot 10^6 = 5 \cdot 1000000 = 5000000$.
Ответ: 5000000

б) Для вычисления $2^{15} \cdot 0,5^{13}$ представим десятичную дробь $0,5$ в виде степени с основанием 2.
$0,5 = \frac{1}{2} = 2^{-1}$.
$2^{15} \cdot 0,5^{13} = 2^{15} \cdot (2^{-1})^{13} = 2^{15} \cdot 2^{-13} = 2^{15-13} = 2^2 = 4$.
Ответ: 4

в) Для вычисления $(0,2)^{19} \cdot 5^{22}$ представим десятичную дробь $0,2$ в виде степени с основанием 5.
$0,2 = \frac{2}{10} = \frac{1}{5} = 5^{-1}$.
$(0,2)^{19} \cdot 5^{22} = (5^{-1})^{19} \cdot 5^{22} = 5^{-19} \cdot 5^{22} = 5^{-19+22} = 5^3 = 125$.
Ответ: 125

г) Для вычисления $1,5^{11} \cdot (\frac{2}{3})^{15}$ представим десятичную дробь в виде обыкновенной и приведем степени к одному основанию.
$1,5 = \frac{3}{2}$. Заметим, что основания $\frac{3}{2}$ и $\frac{2}{3}$ являются взаимно обратными числами, то есть $\frac{3}{2} = (\frac{2}{3})^{-1}$.
$1,5^{11} \cdot (\frac{2}{3})^{15} = (\frac{3}{2})^{11} \cdot (\frac{2}{3})^{15} = ((\frac{2}{3})^{-1})^{11} \cdot (\frac{2}{3})^{15} = (\frac{2}{3})^{-11} \cdot (\frac{2}{3})^{15} = (\frac{2}{3})^{-11+15} = (\frac{2}{3})^4 = \frac{2^4}{3^4} = \frac{16}{81}$.
Ответ: $\frac{16}{81}$

д) Для вычисления $(-4)^{27} \cdot 0,25^{25}$ учтем знак отрицательного основания и приведем степени к одному основанию.
Так как показатель степени 27 нечетный, $(-4)^{27} = -4^{27}$.
Представим $0,25$ в виде степени с основанием 4: $0,25 = \frac{1}{4} = 4^{-1}$.
$(-4)^{27} \cdot 0,25^{25} = -4^{27} \cdot (4^{-1})^{25} = -4^{27} \cdot 4^{-25} = -4^{27-25} = -4^2 = -16$.
Ответ: -16

е) Для вычисления $8^{19} \cdot (-0,125)^{20}$ учтем знак отрицательного основания и приведем степени к одному основанию.
Так как показатель степени 20 четный, $(-0,125)^{20} = (0,125)^{20}$.
Представим $0,125$ в виде степени с основанием 8: $0,125 = \frac{1}{8} = 8^{-1}$.
$8^{19} \cdot (-0,125)^{20} = 8^{19} \cdot (0,125)^{20} = 8^{19} \cdot (8^{-1})^{20} = 8^{19} \cdot 8^{-20} = 8^{19-20} = 8^{-1} = \frac{1}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$

ж) Для вычисления $(-0,6)^5 \cdot (1\frac{2}{3})^4$ представим числа в виде обыкновенных дробей и приведем к одному основанию.
Так как показатель степени 5 нечетный, $(-0,6)^5 = -(0,6)^5$.
$-0,6 = -\frac{6}{10} = -\frac{3}{5}$.
$1\frac{2}{3} = \frac{5}{3}$. Основания $\frac{3}{5}$ и $\frac{5}{3}$ являются взаимно обратными: $\frac{3}{5} = (\frac{5}{3})^{-1}$.
$(-0,6)^5 \cdot (1\frac{2}{3})^4 = -(\frac{3}{5})^5 \cdot (\frac{5}{3})^4 = -((\frac{5}{3})^{-1})^5 \cdot (\frac{5}{3})^4 = -(\frac{5}{3})^{-5} \cdot (\frac{5}{3})^4 = -(\frac{5}{3})^{-5+4} = -(\frac{5}{3})^{-1} = -\frac{3}{5}$.
Ответ: -0,6

з) Для вычисления $(-1,6)^{29} \cdot (-\frac{5}{8})^{30}$ учтем знаки и приведем к одному основанию.
Так как 29 - нечетное число, $(-1,6)^{29} = -(1,6)^{29}$. Так как 30 - четное число, $(-\frac{5}{8})^{30} = (\frac{5}{8})^{30}$.
$1,6 = \frac{16}{10} = \frac{8}{5}$. Основания $\frac{8}{5}$ и $\frac{5}{8}$ взаимно обратные: $\frac{8}{5} = (\frac{5}{8})^{-1}$.
$(-1,6)^{29} \cdot (-\frac{5}{8})^{30} = -(1,6)^{29} \cdot (\frac{5}{8})^{30} = -(\frac{8}{5})^{29} \cdot (\frac{5}{8})^{30} = -((\frac{5}{8})^{-1})^{29} \cdot (\frac{5}{8})^{30} = -(\frac{5}{8})^{-29} \cdot (\frac{5}{8})^{30} = -(\frac{5}{8})^{-29+30} = -(\frac{5}{8})^1 = -\frac{5}{8}$.
Ответ: -0,625

и) Для вычисления $(-0,1)^{15} \cdot 10^{14}$ учтем знак и приведем к одному основанию.
Так как 15 - нечетное число, $(-0,1)^{15} = -(0,1)^{15}$.
$0,1 = \frac{1}{10} = 10^{-1}$.
$(-0,1)^{15} \cdot 10^{14} = -(0,1)^{15} \cdot 10^{14} = -(10^{-1})^{15} \cdot 10^{14} = -10^{-15} \cdot 10^{14} = -10^{-15+14} = -10^{-1} = -\frac{1}{10}$.
Ответ: -0,1

к) Для вычисления $(-1,25)^8 \cdot (-0,8)^7$ учтем знаки и приведем к одному основанию.
Так как 8 - четное число, $(-1,25)^8 = (1,25)^8$. Так как 7 - нечетное число, $(-0,8)^7 = -(0,8)^7$.
$1,25 = \frac{125}{100} = \frac{5}{4}$. $0,8 = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$. Основания $\frac{5}{4}$ и $\frac{4}{5}$ взаимно обратные: $\frac{4}{5} = (\frac{5}{4})^{-1}$.
$(-1,25)^8 \cdot (-0,8)^7 = (1,25)^8 \cdot (-(0,8)^7) = - (1,25)^8 \cdot (0,8)^7 = -(\frac{5}{4})^8 \cdot (\frac{4}{5})^7 = -(\frac{5}{4})^8 \cdot ((\frac{5}{4})^{-1})^7 = -(\frac{5}{4})^8 \cdot (\frac{5}{4})^{-7} = -(\frac{5}{4})^{8-7} = -(\frac{5}{4})^1 = -\frac{5}{4}$.
Ответ: -1,25

л) Для вычисления $(-\frac{5}{9})^{13} \cdot (-1,8)^{14}$ учтем знаки и приведем к одному основанию.
Так как 13 - нечетное число, $(-\frac{5}{9})^{13} = -(\frac{5}{9})^{13}$. Так как 14 - четное число, $(-1,8)^{14} = (1,8)^{14}$.
$1,8 = \frac{18}{10} = \frac{9}{5}$. Основания $\frac{5}{9}$ и $\frac{9}{5}$ взаимно обратные: $\frac{5}{9} = (\frac{9}{5})^{-1}$.
$(-\frac{5}{9})^{13} \cdot (-1,8)^{14} = -(\frac{5}{9})^{13} \cdot (1,8)^{14} = -(\frac{5}{9})^{13} \cdot (\frac{9}{5})^{14} = -((\frac{9}{5})^{-1})^{13} \cdot (\frac{9}{5})^{14} = -(\frac{9}{5})^{-13} \cdot (\frac{9}{5})^{14} = -(\frac{9}{5})^{-13+14} = -(\frac{9}{5})^1 = -\frac{9}{5}$.
Ответ: -1,8

м) Для вычисления $(-0,04)^{13} \cdot (-5^2)^{14}$ учтем знаки и приведем к одному основанию.
Выражение в скобках $(-5^2)$ равно $-(5^2) = -25$.
Так как 13 - нечетное число, $(-0,04)^{13} = -(0,04)^{13}$. Так как 14 - четное число, $(-25)^{14} = 25^{14}$.
$0,04 = \frac{4}{100} = \frac{1}{25} = 25^{-1}$.
$(-0,04)^{13} \cdot (-25)^{14} = -(0,04)^{13} \cdot 25^{14} = -(25^{-1})^{13} \cdot 25^{14} = -25^{-13} \cdot 25^{14} = -25^{-13+14} = -25^1 = -25$.
Ответ: -25