Номер 1.63, страница 14 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.63*. Найдите значение выражения $ \frac{5(3 \cdot 7^{18} + 19 \cdot (-7)^{17})}{7^{16} + 3 \cdot 7^{15}} $.

Для того чтобы найти значение данного выражения, необходимо последовательно упростить числитель и знаменатель дроби.

Упростим числитель выражения.

Числитель равен $5(3 \cdot 7^{18} + 19 \cdot (-7)^{17})$.

Сначала преобразуем выражение в скобках. Поскольку степень 17 является нечетным числом, то $(-7)^{17} = -7^{17}$.

Таким образом, выражение в скобках принимает вид:

$3 \cdot 7^{18} - 19 \cdot 7^{17}$

Для дальнейшего упрощения вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $7^{17}$. Для этого представим $7^{18}$ как $7 \cdot 7^{17}$:

$3 \cdot 7 \cdot 7^{17} - 19 \cdot 7^{17} = (3 \cdot 7 - 19) \cdot 7^{17} = (21 - 19) \cdot 7^{17} = 2 \cdot 7^{17}$

Теперь умножим полученный результат на 5, как в исходном числителе:

$5 \cdot (2 \cdot 7^{17}) = 10 \cdot 7^{17}$

Упростим знаменатель выражения.

Знаменатель равен $7^{16} + 3 \cdot 7^{15}$.

Вынесем за скобки общий множитель в наименьшей степени, то есть $7^{15}$. Для этого представим $7^{16}$ как $7 \cdot 7^{15}$:

$7 \cdot 7^{15} + 3 \cdot 7^{15} = (7 + 3) \cdot 7^{15} = 10 \cdot 7^{15}$

Найдем значение всего выражения.

Подставим упрощенные числитель и знаменатель в исходную дробь:

$\frac{10 \cdot 7^{17}}{10 \cdot 7^{15}}$

Сократим общие множители 10 в числителе и знаменателе:

$\frac{7^{17}}{7^{15}}$

По свойству деления степеней с одинаковым основанием $(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n})$, получаем:

$7^{17-15} = 7^2 = 49$

Ответ: 49.