Номер 1.67, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.67*. Представьте выражение в виде степени с основанием, равным натуральному числу:

a) $2^n \cdot 8;$

б) $7^{m+1} : 49;$

в) $(3^{n+6})^3 : 3^{2n}$.

а) Чтобы представить выражение $2^n \cdot 8$ в виде степени с натуральным основанием, необходимо число 8 представить в виде степени с основанием 2.
Поскольку $8 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 2^3$, мы можем переписать исходное выражение:
$2^n \cdot 8 = 2^n \cdot 2^3$.
Далее воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием: $a^x \cdot a^y = a^{x+y}$.
Применяя это свойство, получаем:
$2^n \cdot 2^3 = 2^{n+3}$.
Ответ: $2^{n+3}$

б) Чтобы представить выражение $7^{m+1} : 49$ в виде степени с натуральным основанием, представим число 49 как степень с основанием 7.
Так как $49 = 7^2$, подставим это значение в выражение:
$7^{m+1} : 49 = 7^{m+1} : 7^2$.
Теперь используем свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^x : a^y = a^{x-y}$.
Применим это свойство к нашему выражению:
$7^{m+1} : 7^2 = 7^{(m+1)-2} = 7^{m+1-2} = 7^{m-1}$.
Ответ: $7^{m-1}$

в) Рассмотрим выражение $(3^{n+6})^3 : 3^{2n}$. Сначала упростим первую часть $(3^{n+6})^3$, используя свойство возведения степени в степень: $(a^x)^y = a^{x \cdot y}$.
$(3^{n+6})^3 = 3^{(n+6) \cdot 3} = 3^{3n+18}$.
Теперь исходное выражение можно записать так:
$3^{3n+18} : 3^{2n}$.
Далее применим свойство деления степеней с одинаковым основанием: $a^x : a^y = a^{x-y}$.
$3^{3n+18} : 3^{2n} = 3^{(3n+18) - 2n} = 3^{3n - 2n + 18} = 3^{n+18}$.
Ответ: $3^{n+18}$