Номер 1.73, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.73*. Докажите, что значение выражения $5 \cdot 4^{2n-3} - 20(2^{n-2})^4$

не зависит от $n$, где $n$ — натуральное число.

1.73*. Чтобы доказать, что значение данного выражения не зависит от переменной $n$, необходимо упростить его. Если в результате упрощения переменная $n$ сократится и останется постоянное число (константа), то утверждение будет доказано.

Дано выражение: $5 \cdot 4^{2n-3} - 20(2^{n-2})^4$.

Упростим выражение по частям, приведя степени к одному основанию 2.

1. Преобразуем первый член $5 \cdot 4^{2n-3}$.

Представим число 4 как степень двойки: $4 = 2^2$.

Тогда $4^{2n-3} = (2^2)^{2n-3}$.

Применяя свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$, получаем:

$(2^2)^{2n-3} = 2^{2 \cdot (2n-3)} = 2^{4n-6}$.

Таким образом, первый член выражения равен $5 \cdot 2^{4n-6}$.

2. Преобразуем второй член $20(2^{n-2})^4$.

Сначала упростим степенную часть $(2^{n-2})^4$, используя то же свойство:

$(2^{n-2})^4 = 2^{(n-2) \cdot 4} = 2^{4n-8}$.

Теперь разложим коэффициент 20 на множители так, чтобы выделить степень двойки: $20 = 5 \cdot 4 = 5 \cdot 2^2$.

Второй член принимает вид: $(5 \cdot 2^2) \cdot 2^{4n-8}$.

Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, получаем:

$5 \cdot 2^2 \cdot 2^{4n-8} = 5 \cdot 2^{2 + (4n-8)} = 5 \cdot 2^{4n-6}$.

3. Подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$5 \cdot 4^{2n-3} - 20(2^{n-2})^4 = 5 \cdot 2^{4n-6} - 5 \cdot 2^{4n-6}$.

Как видно, мы вычитаем из выражения само себя, поэтому результат равен нулю:

$5 \cdot 2^{4n-6} - 5 \cdot 2^{4n-6} = 0$.

Значение выражения равно 0. Так как 0 — это константа, не содержащая переменную $n$, мы доказали, что значение исходного выражения не зависит от $n$ для любого натурального числа $n$.

Ответ: В результате упрощения выражение равно 0, что является константой, следовательно, его значение не зависит от $n$.