Номер 1.77, страница 16 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.77*. Вычислите: $(4^{19} - 3^{18})(3^{18} + 4^{19}) - (16^{19} - 81^9)$

Для решения данного выражения, давайте упростим его по частям. Исходное выражение:

$(4^{19} - 3^{18})(3^{18} + 4^{19}) - (16^{19} - 81^9)$

1. Рассмотрим произведение первых двух скобок: $(4^{19} - 3^{18})(3^{18} + 4^{19})$. Заметим, что это соответствует формуле разности квадратов $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$, где $a = 4^{19}$ и $b = 3^{18}$.

Применим эту формулу:

$(4^{19} - 3^{18})(4^{19} + 3^{18}) = (4^{19})^2 - (3^{18})^2$

Используя свойство степени $(x^m)^n = x^{m \cdot n}$, упростим полученное выражение:

$(4^{19})^2 = 4^{19 \cdot 2} = 4^{38}$

$(3^{18})^2 = 3^{18 \cdot 2} = 3^{36}$

Таким образом, первая часть исходного выражения равна $4^{38} - 3^{36}$.

2. Теперь рассмотрим вторую часть выражения в скобках: $(16^{19} - 81^9)$. Приведем основания степеней к 4 и 3 соответственно.

Мы знаем, что $16 = 4^2$ и $81 = 3^4$. Подставим это в выражение:

$16^{19} = (4^2)^{19} = 4^{2 \cdot 19} = 4^{38}$

$81^9 = (3^4)^9 = 3^{4 \cdot 9} = 3^{36}$

Следовательно, вторая часть выражения равна $4^{38} - 3^{36}$.

3. Теперь подставим упрощенные части обратно в исходное выражение:

$(4^{38} - 3^{36}) - (4^{38} - 3^{36})$

Мы вычитаем из выражения само себя, что всегда дает в результате ноль.

$(4^{38} - 3^{36}) - (4^{38} - 3^{36}) = 4^{38} - 3^{36} - 4^{38} + 3^{36} = (4^{38} - 4^{38}) + (-3^{36} + 3^{36}) = 0 + 0 = 0$

Ответ: $0$