Номер 1.71, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.71*. Найдите значение выражения $\frac{64^5 - 2^{27} + 8^8}{16^7 - 2^{24}}: 19^2$.

1.71*

Чтобы найти значение выражения $\frac{64^5 - 2^{27} + 8^8}{16^7 - 2^{24}} : 19^2$, необходимо выполнить действия в определенном порядке: сначала упростить дробь, а затем выполнить деление.

1. Упрощение дроби.

Для упрощения дроби представим все числа в основаниях степеней (64, 8, 16) как степени с основанием 2:

• $64 = 2^6$
• $8 = 2^3$
• $16 = 2^4$

Теперь преобразуем числитель дроби, подставив новые основания и используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$64^5 - 2^{27} + 8^8 = (2^6)^5 - 2^{27} + (2^3)^8 = 2^{30} - 2^{27} + 2^{24}$

Вынесем за скобки общий множитель, которым является наименьшая степень числа 2, то есть $2^{24}$:

$2^{24}(2^{30-24} - 2^{27-24} + 2^{24-24}) = 2^{24}(2^6 - 2^3 + 2^0)$

Вычислим значения в скобках:

$2^{24}(64 - 8 + 1) = 2^{24} \cdot 57$

Аналогично преобразуем знаменатель дроби:

$16^7 - 2^{24} = (2^4)^7 - 2^{24} = 2^{28} - 2^{24}$

Вынесем за скобки общий множитель $2^{24}$:

$2^{24}(2^{28-24} - 2^{24-24}) = 2^{24}(2^4 - 2^0)$

Вычислим значения в скобках:

$2^{24}(16 - 1) = 2^{24} \cdot 15$

Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель обратно в дробь:

$\frac{2^{24} \cdot 57}{2^{24} \cdot 15} = \frac{57}{15}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 3:

$\frac{57}{15} = \frac{19 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{19}{5}$

2. Выполнение деления.

Теперь разделим полученный результат на $19^2$. Деление на число эквивалентно умножению на обратное ему число:

$\frac{19}{5} : 19^2 = \frac{19}{5} \cdot \frac{1}{19^2} = \frac{19}{5 \cdot 19^2}$

Сократим 19 в числителе и знаменателе:

$\frac{19}{5 \cdot 19 \cdot 19} = \frac{1}{5 \cdot 19} = \frac{1}{95}$

Ответ: $\frac{1}{95}$.