Номер 1.76, страница 16 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.76*. Докажите, что значение выражения $ \frac{5 \cdot (3^{n+1} - 3^{n-1})^3}{27^n + 13 \cdot 27^{n-1}} $ не зависит от $n$, где $n$ — натуральное число.

Для того чтобы доказать, что значение выражения не зависит от натурального числа $n$, необходимо упростить данное выражение. Цель состоит в том, чтобы показать, что переменная $n$ сокращается в процессе преобразований.

Дано выражение:

$$ \frac{5 \cdot (3^{n+1} - 3^{n-1})^3}{27^n + 13 \cdot 27^{n-1}} $$

Будем упрощать числитель и знаменатель по отдельности.

1. Упрощение числителя

Рассмотрим выражение в числителе: $5 \cdot (3^{n+1} - 3^{n-1})^3$.

Сначала преобразуем выражение в скобках, используя свойства степеней ($a^{m+k}=a^m \cdot a^k$):

$3^{n+1} - 3^{n-1} = 3^n \cdot 3^1 - 3^n \cdot 3^{-1}$

Вынесем общий множитель $3^n$ за скобки:

$3^n(3 - 3^{-1}) = 3^n(3 - \frac{1}{3}) = 3^n(\frac{9-1}{3}) = 3^n \cdot \frac{8}{3}$

Теперь возведем полученное выражение в третью степень:

$(3^n \cdot \frac{8}{3})^3 = (3^n)^3 \cdot (\frac{8}{3})^3 = 3^{3n} \cdot \frac{8^3}{3^3} = 3^{3n} \cdot \frac{512}{27}$

Весь числитель равен:

$5 \cdot 3^{3n} \cdot \frac{512}{27}$

2. Упрощение знаменателя

Рассмотрим выражение в знаменателе: $27^n + 13 \cdot 27^{n-1}$.

Представим число $27$ как степень тройки: $27=3^3$.

$27^n = (3^3)^n = 3^{3n}$

$27^{n-1} = (3^3)^{n-1} = 3^{3(n-1)} = 3^{3n-3}$

Подставим эти значения в знаменатель:

$3^{3n} + 13 \cdot 3^{3n-3}$

Вынесем за скобки общий множитель $3^{3n}$, используя то, что $3^{3n-3} = 3^{3n} \cdot 3^{-3}$:

$3^{3n} + 13 \cdot (3^{3n} \cdot 3^{-3}) = 3^{3n}(1 + 13 \cdot 3^{-3}) = 3^{3n}(1 + 13 \cdot \frac{1}{27}) = 3^{3n}(1 + \frac{13}{27})$

Приведем слагаемые в скобках к общему знаменателю:

$3^{3n}(\frac{27}{27} + \frac{13}{27}) = 3^{3n}(\frac{27+13}{27}) = 3^{3n} \cdot \frac{40}{27}$

3. Упрощение всей дроби

Теперь подставим упрощенные выражения для числителя и знаменателя в исходную дробь:

$$ \frac{5 \cdot 3^{3n} \cdot \frac{512}{27}}{3^{3n} \cdot \frac{40}{27}} $$

Мы видим, что множитель $3^{3n}$ присутствует и в числителе, и в знаменателе, поэтому он сокращается. Также сокращается множитель $\frac{1}{27}$:

$$ \frac{5 \cdot 512}{40} $$

Выполним оставшиеся вычисления:

$$ \frac{5 \cdot 512}{40} = \frac{512}{8} = 64 $$

В результате всех преобразований мы получили число $64$. Это значение является константой и не зависит от переменной $n$. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Значение выражения равно 64 при любом натуральном $n$, что и требовалось доказать.