Номер 1.70, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.70*. Докажите, что значение выражения:

a) $5^9 - 25^4 - 125^2$ кратно 99;

б) $343^3 + 49^4 - 7^7$ кратно 55.

а) Чтобы доказать, что значение выражения $5^9 - 25^4 - 125^2$ кратно 99, преобразуем его, приведя все степени к одному основанию 5.

Учитывая, что $25 = 5^2$ и $125 = 5^3$, подставим эти значения в исходное выражение:

$5^9 - (5^2)^4 - (5^3)^2$

Используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, упростим выражение:

$5^9 - 5^{2 \cdot 4} - 5^{3 \cdot 2} = 5^9 - 5^8 - 5^6$

Теперь вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $5^6$:

$5^6(5^{9-6} - 5^{8-6} - 5^{6-6}) = 5^6(5^3 - 5^2 - 5^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$5^6(125 - 25 - 1) = 5^6(99)$

Поскольку полученное выражение является произведением, в котором один из множителей равен 99, всё выражение кратно 99. Что и требовалось доказать.
Ответ:

б) Чтобы доказать, что значение выражения $343^3 + 49^4 - 7^7$ кратно 55, приведем все степени к основанию 7.

Учитывая, что $343 = 7^3$ и $49 = 7^2$, подставим эти значения в выражение:

$(7^3)^3 + (7^2)^4 - 7^7$

Упростим, используя свойство степени $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$:

$7^{3 \cdot 3} + 7^{2 \cdot 4} - 7^7 = 7^9 + 7^8 - 7^7$

Вынесем за скобки общий множитель с наименьшим показателем степени, то есть $7^7$:

$7^7(7^{9-7} + 7^{8-7} - 7^{7-7}) = 7^7(7^2 + 7^1 - 7^0)$

Вычислим значение выражения в скобках:

$7^7(49 + 7 - 1) = 7^7(55)$

Так как один из множителей в полученном произведении равен 55, всё выражение кратно 55. Что и требовалось доказать.
Ответ: