Номер 1.68, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.68*. Представьте в виде степени с основанием 2 выражение (n — натуральное число):

а) $2^5 + 2^5$;

б) $2^n + 2^n$;

в) $2^n \cdot 4^n$;

г) $4^{3n} \cdot 8^n$.

а) Чтобы представить выражение $2^5 + 2^5$ в виде степени с основанием 2, можно вынести общий множитель $2^5$ за скобки. Это действие аналогично сложению $x + x = 2x$.
$2^5 + 2^5 = 2 \cdot 2^5$
Поскольку число $2$ можно представить как $2^1$, воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$:
$2^1 \cdot 2^5 = 2^{1+5} = 2^6$
Ответ: $2^6$

б) Выражение $2^n + 2^n$ решается аналогично предыдущему примеру. Вынесем общий множитель $2^n$ за скобки:
$2^n + 2^n = 2 \cdot 2^n$
Используя свойство умножения степеней $a^m \cdot a^k = a^{m+k}$, получаем:
$2^1 \cdot 2^n = 2^{n+1}$
Ответ: $2^{n+1}$

в) Для преобразования выражения $2^n \cdot 4^n$ необходимо сначала привести все множители к единому основанию 2. Мы знаем, что $4 = 2^2$.
Подставим это в исходное выражение:
$2^n \cdot 4^n = 2^n \cdot (2^2)^n$
Далее применим свойство возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$:
$2^n \cdot 2^{2 \cdot n} = 2^n \cdot 2^{2n}$
Теперь, так как основания одинаковы, сложим показатели степеней при умножении ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$):
$2^{n+2n} = 2^{3n}$
Ответ: $2^{3n}$

г) В выражении $4^{3n} \cdot 8^n$ представим основания 4 и 8 в виде степеней с основанием 2.
$4 = 2^2$ и $8 = 2^3$.
Подставим эти значения в выражение:
$(2^2)^{3n} \cdot (2^3)^n$
Воспользуемся свойством возведения степени в степень $(a^m)^k = a^{m \cdot k}$ для каждого множителя:
$2^{2 \cdot 3n} \cdot 2^{3 \cdot n} = 2^{6n} \cdot 2^{3n}$
Теперь перемножим полученные степени, сложив их показатели, так как основания одинаковы:
$2^{6n} \cdot 2^{3n} = 2^{6n+3n} = 2^{9n}$
Ответ: $2^{9n}$