Номер 1.75, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.75*. Вычислите:

а) $ ((12^{29} \cdot 4^{31} + 8^{30} \cdot 6^{31}) : 2^{33}) : 24^{29}; $

б) $ ((6^{12} \cdot 4^{13} - 8^{14} \cdot 3^{12}) : 2^{15}) : 12^{12}. $

а) $((12^{29} \cdot 4^{31} + 8^{30} \cdot 6^{31}) : 2^{33}) : 24^{29}$

Для решения этого примера разложим все основания степеней на простые множители и воспользуемся свойствами степеней $(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n$ и $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$.

$12 = 2^2 \cdot 3$; $4 = 2^2$; $8 = 2^3$; $6 = 2 \cdot 3$; $24 = 2^3 \cdot 3$.

1. Упростим слагаемые в первых скобках, приведя их к виду произведения степеней простых чисел:

$12^{29} \cdot 4^{31} = (2^2 \cdot 3)^{29} \cdot (2^2)^{31} = 2^{2 \cdot 29} \cdot 3^{29} \cdot 2^{2 \cdot 31} = 2^{58} \cdot 3^{29} \cdot 2^{62} = 2^{58+62} \cdot 3^{29} = 2^{120} \cdot 3^{29}$.

$8^{30} \cdot 6^{31} = (2^3)^{30} \cdot (2 \cdot 3)^{31} = 2^{3 \cdot 30} \cdot 2^{31} \cdot 3^{31} = 2^{90} \cdot 2^{31} \cdot 3^{31} = 2^{90+31} \cdot 3^{31} = 2^{121} \cdot 3^{31}$.

2. Теперь выполним сложение в скобках. Для этого вынесем общий множитель $2^{120} \cdot 3^{29}$ за скобки:

$2^{120} \cdot 3^{29} + 2^{121} \cdot 3^{31} = 2^{120} \cdot 3^{29} + (2^{120} \cdot 2^1) \cdot (3^{29} \cdot 3^2) = 2^{120} \cdot 3^{29} \cdot (1 + 2^1 \cdot 3^2) = 2^{120} \cdot 3^{29} \cdot (1 + 2 \cdot 9) = 2^{120} \cdot 3^{29} \cdot (1 + 18) = 2^{120} \cdot 3^{29} \cdot 19$.

3. Выполним деление на $2^{33}$:

$(2^{120} \cdot 3^{29} \cdot 19) : 2^{33} = 2^{120-33} \cdot 3^{29} \cdot 19 = 2^{87} \cdot 3^{29} \cdot 19$.

4. Выполним последнее деление на $24^{29}$. Сначала представим $24^{29}$ в виде произведения степеней простых чисел:

$24^{29} = (2^3 \cdot 3)^{29} = 2^{3 \cdot 29} \cdot 3^{29} = 2^{87} \cdot 3^{29}$.

$(2^{87} \cdot 3^{29} \cdot 19) : (2^{87} \cdot 3^{29}) = \frac{2^{87} \cdot 3^{29} \cdot 19}{2^{87} \cdot 3^{29}} = 19$.

Ответ: 19

б) $((6^{12} \cdot 4^{13} - 8^{14} \cdot 3^{12}) : 2^{15}) : 12^{12}$

Действуем аналогично, разложив основания степеней на простые множители.

$6 = 2 \cdot 3$; $4 = 2^2$; $8 = 2^3$; $12 = 2^2 \cdot 3$.

1. Упростим уменьшаемое и вычитаемое в первых скобках:

$6^{12} \cdot 4^{13} = (2 \cdot 3)^{12} \cdot (2^2)^{13} = 2^{12} \cdot 3^{12} \cdot 2^{26} = 2^{12+26} \cdot 3^{12} = 2^{38} \cdot 3^{12}$.

$8^{14} \cdot 3^{12} = (2^3)^{14} \cdot 3^{12} = 2^{42} \cdot 3^{12}$.

2. Выполним вычитание, вынеся за скобки общий множитель $2^{38} \cdot 3^{12}$:

$2^{38} \cdot 3^{12} - 2^{42} \cdot 3^{12} = 2^{38} \cdot 3^{12} \cdot (1 - 2^{42-38}) = 2^{38} \cdot 3^{12} \cdot (1 - 2^4) = 2^{38} \cdot 3^{12} \cdot (1 - 16) = 2^{38} \cdot 3^{12} \cdot (-15)$.

3. Выполним деление на $2^{15}$:

$(2^{38} \cdot 3^{12} \cdot (-15)) : 2^{15} = 2^{38-15} \cdot 3^{12} \cdot (-15) = 2^{23} \cdot 3^{12} \cdot (-15)$.

4. Выполним последнее деление на $12^{12}$. Представим $12^{12}$ в виде произведения степеней простых чисел:

$12^{12} = (2^2 \cdot 3)^{12} = 2^{2 \cdot 12} \cdot 3^{12} = 2^{24} \cdot 3^{12}$.

$(2^{23} \cdot 3^{12} \cdot (-15)) : (2^{24} \cdot 3^{12}) = \frac{2^{23} \cdot 3^{12} \cdot (-15)}{2^{24} \cdot 3^{12}} = \frac{-15}{2^{24-23}} = \frac{-15}{2^1} = -7,5$.

Ответ: -7,5