Номер 1.69, страница 15 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.69*. Представьте в виде степени с основанием 3 выражение

(n — натуральное число):

а) $3^6 + 3^6 + 3^6$;

б) $3^n + 3^n + 3^n$;

В) $3^n \cdot 9^n$;

Г) $9^{4n-1} : 27^n$.

а) Исходное выражение представляет собой сумму трех одинаковых слагаемых $3^6$. Эту сумму можно записать как произведение:
$3^6 + 3^6 + 3^6 = 3 \cdot 3^6$.
При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^k = a^{m+k}$). В данном случае $3 = 3^1$:
$3^1 \cdot 3^6 = 3^{1+6} = 3^7$.
Ответ: $3^7$.

б) Аналогично предыдущему пункту, имеем сумму трех одинаковых слагаемых $3^n$. Запишем ее в виде произведения:
$3^n + 3^n + 3^n = 3 \cdot 3^n$.
Применяя свойство умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:
$3^1 \cdot 3^n = 3^{1+n}$.
Ответ: $3^{n+1}$.

в) Для преобразования выражения $3^n \cdot 9^n$ к степени с основанием 3, представим число 9 как степень тройки: $9 = 3^2$.
Подставим это в выражение:
$3^n \cdot (3^2)^n$.
Используем свойство возведения степени в степень ($(a^m)^k = a^{m \cdot k}$):
$3^n \cdot 3^{2 \cdot n} = 3^n \cdot 3^{2n}$.
Теперь воспользуемся свойством умножения степеней с одинаковым основанием:
$3^{n+2n} = 3^{3n}$.
Ответ: $3^{3n}$.

г) В выражении $9^{4n-1} : 27^n$ необходимо привести все основания к 3. Мы знаем, что $9 = 3^2$ и $27 = 3^3$.
Заменим основания в исходном выражении:
$(3^2)^{4n-1} : (3^3)^n$.
Применим свойство возведения степени в степень ($(a^m)^k = a^{m \cdot k}$):
$3^{2(4n-1)} : 3^{3n} = 3^{8n-2} : 3^{3n}$.
При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются ($a^m : a^k = a^{m-k}$):
$3^{(8n-2) - 3n} = 3^{8n-2-3n} = 3^{5n-2}$.
Ответ: $3^{5n-2}$.