Номер 1.62, страница 14 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.62. Вычислите:

а) $\frac{(-9)^5 \cdot 81^2}{3 \cdot 27^5}$;

б) $\frac{(-2)^{10} \cdot 8 \cdot (-16)^3}{-8^{10} : 32}$.

а)

Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{(-9)^5 \cdot 81^2}{3 \cdot 27^5} $, приведем все числа к основанию 3.
1. Преобразуем числитель:
$(-9)^5 = (-(3^2))^5 = - (3^2)^5 = -3^{2 \cdot 5} = -3^{10}$ (поскольку степень 5 нечетная, знак минус сохраняется).
$81^2 = (3^4)^2 = 3^{4 \cdot 2} = 3^8$.
Таким образом, числитель равен: $ -3^{10} \cdot 3^8 = -3^{10+8} = -3^{18} $.
2. Преобразуем знаменатель:
$3 \cdot 27^5 = 3^1 \cdot (3^3)^5 = 3^1 \cdot 3^{3 \cdot 5} = 3^1 \cdot 3^{15} = 3^{1+15} = 3^{16}$.
3. Вычислим частное:
$ \frac{-3^{18}}{3^{16}} = -3^{18-16} = -3^2 = -9 $.
Ответ: -9

б)

Чтобы вычислить значение выражения $ \frac{(-2)^{10} \cdot 8 \cdot (-16)^3}{-8^{10} : 32} $, приведем все числа к основанию 2.
Знак ":" означает деление, поэтому знаменатель представляет собой частное $ \frac{-8^{10}}{32} $.
1. Преобразуем числитель дроби:
$(-2)^{10} = 2^{10}$ (поскольку степень 10 четная, знак минус исчезает).
$8 = 2^3$.
$(-16)^3 = (-(2^4))^3 = -(2^4)^3 = -2^{4 \cdot 3} = -2^{12}$ (поскольку степень 3 нечетная, знак минус сохраняется).
Таким образом, числитель равен: $ 2^{10} \cdot 2^3 \cdot (-2^{12}) = - (2^{10} \cdot 2^3 \cdot 2^{12}) = -2^{10+3+12} = -2^{25} $.
2. Преобразуем знаменатель дроби:
$-8^{10} = -(2^3)^{10} = -2^{3 \cdot 10} = -2^{30}$.
$32 = 2^5$.
Таким образом, знаменатель равен: $ \frac{-2^{30}}{2^5} = -2^{30-5} = -2^{25} $.
3. Вычислим значение всего выражения:
$ \frac{-2^{25}}{-2^{25}} = 1 $.
Ответ: 1