Номер 1.60, страница 14 - гдз по алгебре 7-9 класс сборник задач Арефьева, Пирютко

1.60. Упростите выражение:

а) $ (-a^3)^5; $

б) $ -(a^3)^5; $

в) $ (-a^4)^5; $

г) $ -(a^4)^5; $

д) $ (-a^5)^4; $

е) $ -(a^5)^4. $

а) Для упрощения выражения $ (-a^3)^5 $ необходимо учесть два основных правила работы со степенями. Во-первых, при возведении отрицательного числа в нечетную степень (в данном случае степень 5) результат будет отрицательным. Во-вторых, при возведении степени в степень их показатели перемножаются $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $.
Таким образом, $ (-a^3)^5 = -(a^3)^5 $.
Далее применяем правило возведения степени в степень: $ (a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15} $.
Итоговый результат: $ -a^{15} $.
Ответ: $ -a^{15} $

б) В выражении $ -(a^3)^5 $ знак минуса находится за скобками. Это означает, что сначала нужно возвести в степень выражение в скобках, а затем к результату применить знак минуса.
Используем правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^3)^5 = a^{3 \cdot 5} = a^{15} $.
Теперь применяем знак минуса: $ -(a^{15}) = -a^{15} $.
Ответ: $ -a^{15} $

в) В выражении $ (-a^4)^5 $ мы возводим в нечетную степень 5. Так как показатель степени нечетный, знак минус сохраняется: $ (-x)^5 = -x^5 $.
$ (-a^4)^5 = -(a^4)^5 $.
Далее, по свойству возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $, получаем:
$ (a^4)^5 = a^{4 \cdot 5} = a^{20} $.
В итоге получаем: $ -a^{20} $.
Ответ: $ -a^{20} $

г) В выражении $ -(a^4)^5 $ знак минуса стоит перед скобками. Сначала упростим выражение в скобках, используя правило $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^4)^5 = a^{4 \cdot 5} = a^{20} $.
Затем применяем к результату знак минуса, стоящий перед скобками: $ -(a^{20}) = -a^{20} $.
Ответ: $ -a^{20} $

д) В выражении $ (-a^5)^4 $ мы возводим в четную степень 4. При возведении любого отрицательного числа в четную степень результат будет положительным: $ (-x)^4 = x^4 $.
Следовательно, $ (-a^5)^4 = (a^5)^4 $.
Теперь используем правило возведения степени в степень $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $:
$ (a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20} $.
Ответ: $ a^{20} $

е) В выражении $ -(a^5)^4 $ знак минуса находится за скобками, поэтому он не подвергается возведению в степень. Сначала выполним действие в скобках.
По правилу $ (x^m)^n = x^{m \cdot n} $ имеем:
$ (a^5)^4 = a^{5 \cdot 4} = a^{20} $.
Далее применяем знак минуса к полученному результату: $ -(a^{20}) = -a^{20} $.
Ответ: $ -a^{20} $